圓錐曲線

正確答案　(1) 圓 ； (2) 橢圓 ； (3) 拋物線 ； (4) 雙曲線

整題只做一件事：把截平面與軸的夾角 θ 拿去和半頂角 α = 30° 比。

(1) θ = 90°，平面和軸垂直，橫著切下去就是圓。(2) θ = 60° > 30°，刀子斜了但還沒有母線那麼陡，切口仍然閉得起來，是橢圓。(3) θ = 30° = α，刀子剛好和母線平行，這是臨界情形，切出拋物線。(4) θ = 10° < 30°，刀子比母線更陡，會同時穿過上下兩葉，切出雙曲線。

用離心率驗算會更快：e = cos θ ∕ cos α。cos 90° = 0 給 e = 0，cos 30° ∕ cos 30° = 1，θ 越小 cos θ 越大、e 越大。四種情形剛好對應 e = 0、0 到 1 之間、等於 1、大於 1。

正確答案　c = 2 ； 焦點 (2, 0) ； 準線 x = −2 ； 正焦弦長 8

標準式是 y² = 4cx，所以先把 8 和 4c 對起來：4c = 8，得 c = 2。

c 找到之後三個答案一次全出來：焦點是 (c, 0) = (2, 0)，準線是 x = −c = −2，正焦弦長是 |4c| = 8。正焦弦長就是原式裡 x 前面那個係數，可以直接讀，不用再乘一次。

焦點和準線永遠在頂點的兩側、距離一樣遠。寫完先看一眼：焦點在右邊，準線就一定在左邊，開口朝焦點的方向。若兩個答案跑到同一側，一定是符號寫錯了。

正確答案　焦點 (0, −3) ； 準線 y = 3 ； 正焦弦長 12 ； 開口向下

這次是 x² = 4cy 的型，一次的變數是 y，所以往 y 軸方向開。對係數：4c = −12，得 c = −3。

c 是負的，代表焦點在原點下方：焦點 (0, −3)，準線 y = −c = 3，開口向下。正焦弦長取絕對值：|4c| = 12。

判斷開口只要兩步：先看哪個變數是一次的，決定是上下開還是左右開；再看那個係數的正負，決定是正向還是負向。不用背四條公式。

正確答案　4c = 20，即 x² = 20y ； 準線 y = −5 ； 正焦弦長 20

焦點在 y 軸上，所以用 x² = 4cy 這一型，而且 c = 5。因此 4c = 20，方程式是 x² = 20y。

準線和焦點對稱於頂點，所以 y = −5。正焦弦長 = |4c| = 20。

已知焦點求方程式，順序永遠是：焦點在哪一軸 → 挑型 → 讀出 c → 乘 4。三步做完就結束，不需要代點。

正確答案　a = 5 ； b = 3 ； c = 4 ； 長軸長 10 ； 離心率 4∕5 = 0.8

分母 25 比 9 大，所以長軸在 x 軸上，a² = 25 給 a = 5，b² = 9 給 b = 3。

橢圓的關係是 a² = b² + c²，所以 c² = 25 − 9 = 16，c = 4。長軸長是 2a = 10，離心率 e = c ∕ a = 4∕5。

橢圓的 c 是相減開根號，雙曲線的 c 是相加開根號。記混的人可以想：橢圓的焦點在圖形裡面，所以 c 一定比 a 小，只能用減的。

正確答案　長軸長 10 ； 短軸長 6 ； c = 4 ； 焦點在 y 軸上，是 (0, ±4)

這一題分母大的是 y² 底下的 25，所以長軸換到 y 軸上：a = 5、b = 3。

a、b 的數值和上一題一樣，所以長軸長 2a = 10、短軸長 2b = 6、c = 4 也都一樣。唯一改變的是方向：焦點變成 (0, 4) 和 (0, −4)。

這一組題目就是在測「a 是不是永遠配 x」這個誤解。a 只跟誰的分母大有關，跟它寫在哪一個字母底下無關。動筆前先圈出大的那個分母。

正確答案　距離和 = 12 ； PF₂ = 7 ； 兩焦點距離 = 8

橢圓的定義就是「到兩焦點的距離和是定值」，而那個定值等於長軸長 2a。這裡 a² = 36 給 a = 6，所以 PF₁ + PF₂ = 12。

既然 PF₁ = 5，就得 PF₂ = 12 − 5 = 7。兩焦點的距離是 2c，而 c² = 36 − 20 = 16，c = 4，所以 2c = 8。

這題完全用不到 P 的坐標。看到「橢圓上一點到兩焦點」，先寫下 2a，通常題目就解掉一半了。

正確答案　a = 3 ； b = 4 ； c = 5 ； 漸近線 y = ±(4∕3)x ； 離心率 5∕3

x² 這一項是正號，所以焦點在 x 軸上，貫軸在 x 軸。a² = 9 給 a = 3，b² = 16 給 b = 4。

雙曲線用加法：c² = a² + b² = 9 + 16 = 25，c = 5。漸近線把右邊的 1 換成 0 就解得 y = ±(b∕a)x = ±(4∕3)x。離心率 e = c∕a = 5∕3。

漸近線斜率是 b∕a 還是 a∕b？不要背。畫出 2a × 2b 的基準矩形，對角線的斜率就是垂直邊除以水平邊，圖畫出來就不會反。

正確答案　a = 4 ； c = 5 ； 貫軸長 8 ； 焦點在 y 軸上，是 (0, ±5)

雙曲線看正負、不看大小。這裡 y² 是正的，所以貫軸在 y 軸、焦點也在 y 軸。跟著正項走的那個分母就是 a²：a² = 16 給 a = 4，剩下的 b² = 9 給 b = 3。

c² = 16 + 9 = 25，c = 5，焦點 (0, ±5)。貫軸長 = 2a = 8。

這裡 b = 3 比 a = 4 小，但如果換成 b 比 a 大也完全合法——雙曲線沒有規定 a 要比 b 大，這是它和橢圓最容易搞混的一點。

正確答案　距離差 = 10 ； c = 13 ； 兩焦點距離 = 26

雙曲線的定義是「到兩焦點的距離差的絕對值是定值」，那個定值等於貫軸長 2a。a² = 25 給 a = 5，所以 |PF₁ − PF₂| = 10。

c² = 25 + 144 = 169，c = 13，兩焦點的距離是 2c = 26。

橢圓是「和 = 2a」，雙曲線是「差 = 2a」。兩邊都是 2a，改變的只有和與差這一個字，這也是為什麼題目常常只給你「和」或「差」就要你判斷是哪一種曲線。

正確答案　頂點 (−1, 2) ； 焦點 (1, 2) ； 準線 x = −3

把它和 (y − k)² = 4c(x − h) 對照。x + 1 要讀成 x − (−1)，所以 h = −1、k = 2，頂點是 (−1, 2)。

4c = 8 給 c = 2，開口向右。焦點在頂點右邊 2 格：(−1 + 2, 2) = (1, 2)。準線在頂點左邊 2 格：x = −1 − 2 = −3。

平移題最穩的做法是先假裝頂點在原點把 c、焦點、準線都算出來，最後再整組加上 (h, k)。括號裡的正負號記得反過來讀，這是唯一的陷阱。

正確答案　中心 (3, −1) ； c = 3 ； 長軸長 10 ； 焦點 (0, −1) 與 (6, −1)

中心讀括號：x − 3 給 h = 3，y + 1 = y − (−1) 給 k = −1，中心是 (3, −1)。

分母 25 > 16，長軸平行 x 軸，a = 5、b = 4，c² = 25 − 16 = 9 給 c = 3。長軸長 2a = 10。焦點在中心左右各 3 格：(3 − 3, −1) 和 (3 + 3, −1)。

平移不會改變 a、b、c 和離心率，只會改變中心和焦點的位置。所以看到平移過的式子，先把中心挑出來放旁邊，剩下的完全按原點的做法算。

正確答案　(y − 3)² = 4(x − 1) ； 頂點 (1, 3) ； c = 1 ； 焦點 (2, 3)

只有 y 有平方項，所以這是拋物線，而且開口是左右向。把 y 的項留在左邊，其餘移到右邊：y² − 6y = 4x − 13。

左邊配方要補 9，右邊也補 9：(y − 3)² = 4x − 4 = 4(x − 1)。對照 (y − k)² = 4c(x − h)：頂點 (1, 3)，4c = 4 給 c = 1，開口向右，焦點在頂點右邊 1 格，是 (2, 3)。

最後把右邊提出 4 這一步很多人會漏掉，直接寫成 4x − 4 就去讀頂點，結果 h 讀成 −4。標準式的右邊一定要整理成 4c(x − h) 的樣子才能讀。

正確答案　(1) 圓 ； (2) 橢圓 ； (3) 拋物線 ； (4) 雙曲線

離心率把四種曲線排在同一條數線上：e = 0 是圓，0 < e < 1 是橢圓，e = 1 是拋物線，e > 1 是雙曲線。

直觀上 e 就是「被拉得多扁」：e 從 0 慢慢變大，橢圓越來越扁；扁到 e = 1 的瞬間曲線閉不起來，變成拋物線；再大下去就裂成兩支，變成雙曲線。

這一條和第 1 題的截痕判斷是同一件事的兩種說法，因為 e = cos θ ∕ cos α。題目給角度就比角度，給 e 就比 1，兩條路通到同一個答案。

正確答案　a = 5 ； b² = 16 ； 離心率 3∕5 ； 短軸長 8 ； 方程式 x²∕25 + y²∕16 = 1

長軸長 2a = 10 直接給 a = 5。焦點 (±3, 0) 給 c = 3，而且焦點在 x 軸，所以長軸在 x 軸。

用 a² = b² + c²：b² = 25 − 9 = 16，b = 4，短軸長 2b = 8。離心率 e = 3∕5。

反求標準式的題目，先把題目給的東西翻譯成 a、b、c 三個字母中的兩個，第三個一定用那條直角三角形關係補上。不要急著設未知數列方程式。

正確答案　a = 4 ； b = 3 ； c = √7 ； 離心率 √7 ∕ 4 ≈ 0.661

(4, 0) 和 (0, 3) 就是橢圓和兩坐標軸的交點，也就是兩軸的端點。所以 x 方向的半軸長是 4、y 方向的半軸長是 3，方程式是 x²∕16 + y²∕9 = 1。

4 > 3，所以長軸在 x 軸，a = 4、b = 3。c² = 16 − 9 = 7，c = √7。離心率 e = √7 ∕ 4 ≈ 0.661，介於 0 和 1 之間，合理。

c 不是整數是常態，不要因為開出根號就懷疑自己算錯。檢查的方法是看 e：橢圓的 e 必須落在 0 到 1 之間，超出範圍才是真的錯了。

正確答案　a = 4 ； b = 3 ； 貫軸長 8 ； 離心率 5∕4 ； 方程式 x²∕16 − y²∕9 = 1

焦點在 x 軸，所以是 x²∕a² − y²∕b² = 1 這一型，漸近線斜率是 b∕a = 3∕4，也就是 4b = 3a。

再加上 c = 5，得 a² + b² = 25。把 b = (3∕4)a 代進去：a² + (9∕16)a² = 25，即 (25∕16)a² = 25，a² = 16、a = 4，於是 b = 3。貫軸長 2a = 8，離心率 5∕4。

看到 3、4、5 就想到直角三角形是對的，但要先確認誰是斜邊。這題 c = 5 是斜邊，所以 a、b 只能是 4 和 3；再用斜率 3∕4 決定 b = 3、a = 4，不能反過來。

正確答案　4c = 8，即 x² = 8y ； c = 2 ； 接收器裝在頂點正上方 2 公尺處

頂點在原點、開口向上，所以設 x² = 4cy。開口直徑 8 公尺代表半徑 4 公尺，深度 2 公尺代表開口邊緣的高度是 2，所以邊緣那一點的坐標是 (4, 2)。

代進去：4² = 4c × 2，即 16 = 8c，得 c = 2，4c = 8，方程式是 x² = 8y。焦點在 (0, 2)，所以接收器要裝在頂點正上方 2 公尺。

這就是拋物面天線的原理：所有平行於軸射進來的訊號，反射後全部聚在焦點。應用題最常錯的一步是把直徑當成半徑直接代入，記得先除以 2。

正確答案　c = 6 ； 最大值 16 ； 最小值 4 ； 離心率 0.6

a = 10、b = 8，c² = 100 − 64 = 36，c = 6。焦點在 (±6, 0)。

取右焦點 (6, 0) 來看。橢圓上離它最遠的點是另一端的長軸頂點 (−10, 0)，距離 a + c = 16；最近的是同側的長軸頂點 (10, 0)，距離 a − c = 4。離心率 e = 6∕10 = 0.6。

「a + c 最遠、a − c 最近」是天文題的標準工具：行星離太陽最遠與最近的距離就是這兩個值，加起來剛好等於 2a，這也是驗算的好方法——16 + 4 = 20 = 2a，對得上。

正確答案　c = 5 ； 焦點到漸近線的距離 = 3（就是 b）； 離心率 5∕4

a = 4、b = 3，c² = 16 + 9 = 25，c = 5，焦點 (±5, 0)。漸近線是 y = ±(3∕4)x，寫成一般式是 3x − 4y = 0。

用點到直線的距離公式算焦點 (5, 0) 到它的距離：|3×5 − 4×0| ∕ √3² + 4² = 15 ∕ 5 = 3，剛好等於 b。

焦點到漸近線的距離永遠等於 b，這是雙曲線一個很好用的性質，可以直接背下來當檢查工具。它也解釋了 b 的幾何意義——b 不只是基準矩形的一半高，還是焦點偏離漸近線的量。

正確答案　(x − 2)²∕9 + (y + 1)²∕4 = 1 ； 中心 (2, −1) ； a = 3 ； b = 2 ； c = √5

兩個平方項的係數 4 和 9 同號但不同值，所以先確定是橢圓。分組並提出係數：4(x² − 4x) + 9(y² + 2y) = 11。

括號裡配方，補進去的數要乘上外面的係數再加到右邊：4(x − 2)² + 9(y + 1)² = 11 + 4×4 + 9×1 = 36。兩邊除以 36：(x − 2)²∕9 + (y + 1)²∕4 = 1。

中心 (2, −1)，分母 9 > 4 所以長軸平行 x 軸，a = 3、b = 2，c² = 9 − 4 = 5，c = √5。

整題唯一的高風險步驟是「補回去的數要乘係數」。x 那一組括號裡補的是 4，但右邊要加的是 4 × 4 = 16，不是 4。寫的時候把係數圈起來，可以省掉一大半的錯。

正確答案　(x − 1)²∕16 − (y + 2)²∕9 = 1 ； 中心 (1, −2) ； a = 4 ； c = 5 ； 貫軸長 8

兩個平方項的係數 9 和 −16 異號，所以是雙曲線。分組提係數：9(x² − 2x) − 16(y² + 4y) = 199。

配方：9[(x − 1)² − 1] − 16[(y + 2)² − 4] = 199，展開得 9(x − 1)² − 16(y + 2)² − 9 + 64 = 199，所以 9(x − 1)² − 16(y + 2)² = 144。兩邊除以 144 得 (x − 1)²∕16 − (y + 2)²∕9 = 1。

中心 (1, −2)。正號跟著 x，所以貫軸平行 x 軸，a² = 16 給 a = 4、b = 3，c² = 16 + 9 = 25 給 c = 5。貫軸長 2a = 8。

負係數那一組要特別小心：−16 乘上括號裡補的 4，貢獻的是 +64 不是 −64。這裡漏一個負號整題就垮了，所以建議像上面那樣先寫成中括號的形式再展開，不要心算。

正確答案　(1) 拋物線 ； (2) 橢圓 ； (3) 雙曲線 ； (4) 兩條相交直線

前三小題照舊比角度：(1) 25° = α，臨界情形，拋物線。(2) 40° > 25°，橢圓。(3) 10° < 25°，穿過兩葉，雙曲線。

(4) 角度和 (3) 一樣是 10°，但平面通過頂點，這時截痕會退化。原本應該是雙曲線的兩支，各自塌成一條通過頂點的直線，所以得到兩條相交直線，交點就是頂點。

退化的三種情形可以和正常的三種一一對應：橢圓塌成一個點、拋物線塌成一條直線、雙曲線塌成兩條相交直線。判斷時先比角度決定「本來是哪一種」，再看平面有沒有過頂點決定「要不要塌掉」。

正確答案　橢圓 c = 4 ； 雙曲線 c = 5 ； 雙曲線的焦點較遠

橢圓用減：c² = 25 − 9 = 16，c = 4，焦點 (±4, 0)。雙曲線用加：c² = 16 + 9 = 25，c = 5，焦點 (±5, 0)。

所以雙曲線的焦點 (±5, 0) 離原點比較遠。

這一題把整章最容易混淆的兩條式子並排放在一起。兩條曲線的 b² 都是 9，只有加減不同，結果焦點就差了一格。橢圓的焦點在曲線裡面（c < a），雙曲線的焦點在曲線外面（c > a）——記這一句，就不會把加減用反。