指數與對數

正確答案　(1) 256　(2) 729　(3) 1　(4) 1∕8

指數律就四句話。同底相乘指數相加：2³·2⁵ = 2⁸ = 256。次方的次方指數相乘：(3²)³ = 3⁶ = 729。任何非零數的零次方都是 1，因為 aᵐ ∕ aᵐ 一定等於 1。負指數不是負的數，是倒數：2⁻³ = 1∕2³ = 1∕8 = 0.125。這四題各代表一條律，錯哪一題就回去補哪一條。

正確答案　(1) 4　(2) 8　(3) 1∕5

分數指數的分母是根號的根數，分子是真正的次方：a^(m∕n) = ⁿ√aᵐ。8^(2∕3) 先開三次方得 2，再平方得 4。16^(3∕4) 先開四次方得 2，再三次方得 8。25^(−1∕2) 先看負號取倒數，再開平方：1 ∕ √25 = 1∕5。訣竅是「先開根號再乘方」，數字比較小比較好算。

正確答案　(1) 3.52　(2) −4　(3) 6

科學記號規定 1 ≤ a < 10。0.000352 把小數點往右搬 4 位變成 3.52，往右搬就配負指數，所以是 3.52 × 10⁻⁴。反過來，3.6 × 10⁵ = 360000，是 6 位數——整數位數等於指數加 1，這個關係在求位數時會一直用到。

正確答案　(1) 5　(2) −2　(3) −3　(4) 0

對數就是把指數式反過來問：logₐ x = y 等價於 aʸ = x。2⁵ = 32，所以 log₂ 32 = 5。3⁻² = 1∕9，所以 log₃(1∕9) = −2。10⁻³ = 0.001，所以 log 0.001 = −3。任何底數的零次方都是 1，所以 log₅ 1 = 0。真數小於 1 的時候對數一定是負的，這可以拿來檢查符號。

正確答案　(1) 0.7781　(2) 1.0791　(3) 0.6990

三個都靠對數律拆。log 6 = log(2 × 3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781。log 12 = log(2² × 3) = 2(0.3010) + 0.4771 = 1.0791。log 5 = log(10 ∕ 2) = 1 − 0.3010 = 0.6990——遇到 5 就想成 10 除以 2，是最常用的一招。

正確答案　(1) 3∕2　(2) 2∕3　(3) 4

換底公式 logₐ b = log b ∕ log a，其實只要看成「2 的幾次方」更快。log₄ 8：4 = 2²、8 = 2³，答案就是 3∕2。log₈ 4 剛好是它的倒數 2∕3。第三題把兩個都換成以 2 為底：log₂ 9 = 2 log₂ 3，log₃ 4 = 2 ∕ log₂ 3，相乘時 log₂ 3 消掉，剩下 4。看到連乘的對數就先找可以消掉的部分。

正確答案　(1) 5　(2) 3　(3) −1

指數方程式的標準做法是「化成同底再比指數」。2ˣ = 32 = 2⁵，所以 x = 5。3^(x+1) = 81 = 3⁴，得 x + 1 = 4、x = 3。5^(2x) = 1∕25 = 5⁻²，得 2x = −2、x = −1。底數一樣的時候指數才可以直接比，因為指數函數是一對一的。

正確答案　(1) 9　(2) 4　(3) 5

對數方程式先改寫成指數式，最後一定要驗真數大於 0。log₂(x − 1) = 3 得 x − 1 = 8、x = 9。log₃(2x + 1) = 2 得 2x + 1 = 9、x = 4。第三題先合併：log[x(x − 3)] = 1，得 x(x − 3) = 10，即 x² − 3x − 10 = 0、(x − 5)(x + 2) = 0。x = −2 會讓 log x 沒有定義，直接刪掉，只留 x = 5。忘記檢查真數是這一段最常見的失分。

正確答案　(1) 3　(2) −2　(3) −3

底數大於 1 時不等號方向不變，底數在 0 與 1 之間時要翻面。2ˣ > 2³，底數 2 > 1，直接得 x > 3。(1∕2)ˣ > (1∕2)⁻²，底數小於 1，不等號翻面變成 x < −2。3ˣ ≤ 3⁻³，底數 3 > 1，得 x ≤ −3。判斷順序永遠是：先化同底，再看底數大於還是小於 1。

正確答案　(1) 8　(2) 1∕2

對數不等式也是看底數，而且真數要先大於 0。log₂ x < 3 = log₂ 8，底數 2 > 1 不翻面，得 0 < x < 8。log_(1∕2) x > 1 = log_(1∕2)(1∕2)，底數小於 1 要翻面，得 0 < x < 1∕2。左邊那個 0 < x 不是裝飾品，是定義域，寫答案時一定要帶上。

正確答案　(1) 1　(2) 1∕4　(3) 0

y = 2ˣ 這條曲線有三個一定要記得的特徵。它恆過 (0, 1)，所以與 y 軸交在 1。x = −2 時 y = 2⁻² = 1∕4，負指數把值壓進 0 與 1 之間。往左邊走 y 越來越靠近 0 卻永遠碰不到，所以水平漸近線是 y = 0。上面的圖形實驗室把 a 拉到 2 就是這條線。

正確答案　(1) 10　(2) 2.3010　(3) 4

位數問題全靠「取 log 看首數」。log(2³⁰) = 30 × 0.3010 = 9.03，首數是 9，位數 = 首數 + 1 = 10 位數。log 200 = log 2 + log 100 = 0.3010 + 2 = 2.3010，首數 2、尾數 0.3010——尾數只跟數字排列有關，首數只跟小數點位置有關。log(0.5¹⁰) = −10 × 0.3010 = −3.010 = −4 + 0.990，首數 −4，代表小數點後第 4 位才出現第一個非零數字。

正確答案　k = 2

先把括號內合併：a^(1∕2) · a^(2∕3) = a^(1∕2 + 2∕3) = a^(7∕6)。再乘上外面的 6 次方：(a^(7∕6))⁶ = a⁷。最後除以 a⁵，指數相減得 a²，所以 k = 2。整題只用到三條指數律，重點是通分 1∕2 + 2∕3 = 7∕6 不要算錯。

正確答案　(1) 27　(2) 12　(3) 1∕9

看到「已知 2ˣ = 3」就要把每一個式子都湊回 2ˣ。8ˣ = (2³)ˣ = (2ˣ)³ = 3³ = 27。2^(x+2) = 2ˣ · 2² = 3 × 4 = 12。4⁻ˣ = (2²)⁻ˣ = (2ˣ)⁻² = 3⁻² = 1∕9。這一類題目不需要真的解出 x，把底數換成 2 就結束了。

正確答案　(1) 1.1461　(2) 0.5441

log 14 = log(2 × 7) = 0.3010 + 0.8451 = 1.1461。log 3.5 = log(7 ∕ 2) = 0.8451 − 0.3010 = 0.5441。所有這類題都是先把真數拆成已知數字的乘積或商，乘變加、除變減。3.5 不好看，寫成 7∕2 就好算了。

正確答案　2x ∕ 3

把 log₈ 9 換成以 2 為底：log₈ 9 = log₂ 9 ∕ log₂ 8。分子 log₂ 9 = log₂ 3² = 2 log₂ 3 = 2x，分母 log₂ 8 = 3。所以答案是 2x∕3。換底的時候選一個「兩邊都好算」的底數，這題選 2 最順。

正確答案　x = 2

看到 4ˣ 和 2ˣ 同時出現就換元。令 t = 2ˣ，則 4ˣ = t²，方程式變成 t² − 3t − 4 = 0，因式分解 (t − 4)(t + 1) = 0，得 t = 4 或 t = −1。但 t = 2ˣ 恆為正，t = −1 不合直接刪掉。剩下 2ˣ = 4，所以 x = 2。換元之後一定要回頭檢查 t > 0。

正確答案　x = 2、x = 4

一樣換元：令 t = log₂ x，方程式變成 t² − 3t + 2 = 0，因式分解 (t − 1)(t − 2) = 0，得 t = 1 或 2。回代 log₂ x = 1 得 x = 2，log₂ x = 2 得 x = 4。兩根都是正數，真數條件通過。指數與對數的二次型題目都是這個套路：換元、解二次、回代、驗真數。

正確答案　15 年

n 年後本利和是 10000 × 1.05ⁿ，要超過 20000 就是 1.05ⁿ > 2。兩邊取常用對數：n × log 1.05 > log 2，得 n > 0.3010 ∕ 0.0212 ≈ 14.2。n 必須是整數，所以最少要 15 年。複利題的固定流程就是列式、取 log、除、再依題意進位。

正確答案　(1) 5　(2) 100 倍

代入 [H⁺] = 10⁻⁵ 得 pH = −(−5) = 5。pH 從 5 降到 3，表示 −log[H⁺] 少了 2，也就是 log[H⁺] 多了 2，所以 [H⁺] 變成原來的 10² = 100 倍。對數尺度的意義就在這裡：數字差 1，實際量差 10 倍。

正確答案　(1) 16 位數　(2) 15

log(6²⁰) = 20 × log 6 = 20 × (0.3010 + 0.4771) = 20 × 0.7781 = 15.562。首數是 15，位數 = 首數 + 1 = 16 位數。首數也可以直接讀成「這個數介於 10¹⁵ 與 10¹⁶ 之間」。先算 log 6 再乘 20，比先乘再拆快得多。