直線與圓

正確答案　(1) 2　(2) −2　(3) 不存在　(4) 0

斜率就是 Δy ∕ Δx，把「上下差」除以「左右差」。(1) (8 − 2) ∕ (4 − 1) = 6∕3 = 2。(2) (−5 − 5) ∕ (3 − (−2)) = −10∕5 = −2。(3) 兩點的 x 坐標都是 2，Δx = 0，分母是零，斜率不存在——這種鉛直線只能寫成 x = 2，永遠寫不成 y = mx + b。(4) 兩點的 y 坐標都是 4，Δy = 0，斜率是 0，是一條水平線。記住：水平線斜率為 0，鉛直線斜率不存在，兩者不一樣。

正確答案　(1) 7　(2) 2　(3) −4　(4) 3

(1) 有一點又有斜率就用點斜式：y − 3 = −2(x − 2)，展開得 y = −2x + 7，所以 b = 7。(2) 有兩點就先算斜率：(0 − (−4)) ∕ (2 − 0) = 4∕2 = 2。(3)(4) 求截距最快的方法是「代零」：令 y = 0 得 3x + 12 = 0、x = −4，這是 x 截距；令 x = 0 得 −4y + 12 = 0、y = 3，這是 y 截距。截距永遠是一個數字，不是一個點。

正確答案　(1) 3　(2) −1

平移的規則只有一句話：向右移 h、向上移 k，就把式子裡的 x 換成 x − h、y 換成 y − k。原式 y = 3x + 1 變成 y − 4 = 3(x − 2) + 1，整理得 y = 3x − 6 + 1 + 4 = 3x − 1。所以斜率還是 3（平移不會讓線轉向），y 截距從 1 變成 −1。看到「換成 x − h」覺得方向相反是正常的，那是因為我們是把新坐標換算回原來的位置。

正確答案　(1) 1　(2) −1∕2　(3) 6

(1) 平行就是斜率一樣，m = 2。過 (1, 3) 用點斜式：y − 3 = 2(x − 1)，得 y = 2x + 1，y 截距是 1。(2) 垂直的兩條線斜率相乘等於 −1，所以 m = −1 ∕ 2。(3) 2x + 3y − 6 = 0 的斜率是 −2∕3，4x + ky − 5 = 0 的斜率是 −4∕k。平行代表兩者相等：−4∕k = −2∕3，交叉相乘得 k = 6。一般式 ax + by + c = 0 的斜率是 −a∕b，這個公式要背熟。

正確答案　(1) 2　(2) 11∕13　(3) 4

點到直線的距離公式：d = |ax₀ + by₀ + c| ∕ √a² + b²。(1) |3(0) + 4(0) − 10| ∕ √9 + 16 = 10∕5 = 2。(2) |5(1) − 12(2) + 8| ∕ √25 + 144 = |−11| ∕ 13 = 11∕13。(3) 兩條平行線的距離，就是在其中一條上隨便挑一點，再算它到另一條的距離；更快的做法是係數相同時直接用 |c₁ − c₂| ∕ √a² + b² = |−5 − 15| ∕ 5 = 4。分子一定要加絕對值，距離不會是負的。

正確答案　(1) 3　(2) 8　(3) 12

x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≤ 4 三個半平面交出來的是一個直角三角形，三個頂點是 (0, 0)、(4, 0)、(0, 4)。兩股都是 4，面積 = 4 × 4 ∕ 2 = 8。最後一小題是線性規劃的核心觀念：一次式在凸多邊形區域上的極值一定發生在頂點，所以只要把三個頂點代進去比大小。f(0, 0) = 0、f(4, 0) = 8、f(0, 4) = 12，最大值是 12。不必檢查內部的點，這是可以省很多時間的一招。

正確答案　(1) 25　(2) −1　(3) 4　(4) 4

標準式 (x − h)² + (y − k)² = r²，括號裡是「減圓心」，等號右邊是半徑的平方。(1) 半徑 5，所以右邊是 5² = 25。(2)(3) (x + 1)² 要讀成 (x − (−1))²，所以圓心的 x 是 −1；(y − 4)² 讀出圓心的 y 是 4，圓心是 (−1, 4)。(4) 右邊 16 是 r²，半徑是 4 不是 16。括號裡的正負號和圓心坐標相反，是最常見的粗心點。

正確答案　(1) 3　(2) −4　(3) 6

一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 可以直接用公式讀出圓心與半徑：圓心 (−D∕2, −E∕2)，半徑 √(D∕2)² + (E∕2)² − F。這題 D = −6、E = 8、F = −11，圓心 = (3, −4)，半徑 = √9 + 16 + 11 = √36 = 6。想不起公式就用配方法：x² − 6x = (x − 3)² − 9、y² + 8y = (y + 4)² − 16，代回得 (x − 3)² + (y + 4)² = 36，一樣的答案。

正確答案　(1) 5　(2) 10　(3) A

圓 x² + y² = 25 的圓心是原點 O(0, 0)、半徑 5。點與圓的關係只看一件事：這個點到圓心的距離和半徑誰大。OA = √3² + 4² = 5，剛好等於半徑，所以 A 在圓上。OB = √6² + 8² = 10，大於半徑 5，所以 B 在圓外。距離小於半徑就在圓內、等於就在圓上、大於就在圓外——三句話就是這一節的全部。

正確答案　(1) 5　(2) 2　(3) 2 個

圓心 O(0, 0) 到直線 3x + 4y + c = 0 的距離是 d = |c| ∕ √3² + 4² = |c| ∕ 5。(1) c = −25 時 d = 5，剛好等於半徑，所以直線與圓相切。(2) c = −10 時 d = 10∕5 = 2。(3) d = 2 小於半徑 5，直線切進圓裡面，所以有兩個交點。判斷交點個數不必真的解聯立：算出 d 再和 r 比一下就好，這就是幾何判定法，比代入消元快得多。

正確答案　(1) 4∕3　(2) −3∕4　(3) 25

切線最重要的性質是「切線垂直於過切點的半徑」。半徑 OP 從 (0, 0) 到 (3, 4)，斜率是 4∕3。切線和它垂直，斜率相乘要等於 −1，所以切線斜率是 −3∕4。過圓上一點 (x₁, y₁) 的切線有現成公式：x₁x + y₁y = r²，代進去就是 3x + 4y = 25，所以 k = 25。這個公式的用法是「把 x² 拆成 x₁x、把 y² 拆成 y₁y」，記住這個拆法就不會背錯。

正確答案　(1) 10　(2) 2　(3) 6　(4) 5

兩點距離 = √(5 − (−1))² + (10 − 2)² = √36 + 64 = √100 = 10。中點就是兩個坐標各自取平均：((−1 + 5)∕2, (2 + 10)∕2) = (2, 6)。以 AB 為直徑的圓，圓心就是 AB 的中點、半徑就是 AB 的一半，所以半徑是 5。這題把距離、中點、圓心半徑三件事串在一起，是後面寫圓方程式最常用的組合。

正確答案　k = −10、k = 20

兩條平行線的係數相同，距離可以直接用 |k − 5| ∕ √3² + (−4)² = |k − 5| ∕ 5。題目要距離是 3，所以 |k − 5| = 15。絕對值方程式拆成兩支：k − 5 = 15 得 k = 20，k − 5 = −15 得 k = −10。平行線題目幾乎都會有兩組答案，因為新的線可以落在原直線的兩側，只寫一個就少一半分數。

正確答案　m = 1∕3、b = 5∕3

先求交點：由 2x − y = 0 得 y = 2x，代入 x + y − 3 = 0 得 3x = 3、x = 1、y = 2，交點是 (1, 2)。再看方向：3x + y − 1 = 0 的斜率是 −3，要垂直就取負倒數，m = 1∕3。最後用點斜式：y − 2 = (1∕3)(x − 1)，展開 y = x∕3 − 1∕3 + 2 = x∕3 + 5∕3，所以 b = 5∕3。「先找交點、再定斜率、最後點斜式」是這一類題目的固定三步驟。

正確答案　(1) k < 5　(2) 2　(3) 一個點

配方：x² + 4x = (x + 2)² − 4，y² − 2y = (y − 1)² − 1，代回得 (x + 2)² + (y − 1)² = 5 − k。右邊就是 r²。(1) 要是一個真正的圓，半徑必須大於 0，所以 5 − k > 0，也就是 k < 5。(2) k = 1 時 r² = 4，半徑是 2。(3) k = 5 時 r² = 0，整個圖形縮成圓心那一個點 (−2, 1)，這叫點圓；如果 k > 5 右邊是負數，連圖形都不存在。一般式後面加一句「表示一個圓」，考的就是這個 r² > 0 的條件。

正確答案　(1) 3　(2) 8

先算圓心到直線的距離：d = |3(0) + 4(0) − 15| ∕ √9 + 16 = 15∕5 = 3。因為 d = 3 小於半徑 5，直線確實穿過圓。接著用「半徑、圓心到弦的距離、半弦」組成的直角三角形：半弦 = √r² − d² = √25 − 9 = √16 = 4，弦長是它的兩倍，等於 8。求弦長不要去解聯立再算兩點距離，畫出那個直角三角形用畢氏定理快很多。

正確答案　(1) 4　(2) 3∕4

(1) 切線長用直角三角形算：圓心 O 到 P 的距離是 5，半徑是 3，切點處是直角，所以切線長 = √5² − 3² = √16 = 4。(2) 設切線 y = m(x − 5)，寫成一般式 mx − y − 5m = 0。相切代表圓心到直線的距離等於半徑：|−5m| ∕ √m² + 1 = 3，兩邊平方得 25m² = 9m² + 9，16m² = 9，m² = 9∕16，m = ±3∕4，取正的是 3∕4。從圓外一點畫切線一定有兩條，斜率一正一負對稱。

正確答案　(1) 20　(2) −3∕4

先確認 P 真的在圓上：(4 − 1)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25，沒錯。圓心是 (1, −2)，半徑方向是 (4 − 1, 2 − (−2)) = (3, 4)，這個向量就是切線的法向量。所以切線是 3(x − 4) + 4(y − 2) = 0，展開得 3x + 4y = 20，k = 20。斜率從 3x + 4y = 20 讀出來是 −3∕4，剛好和半徑斜率 4∕3 相乘等於 −1。圓心不在原點時，把「圓心指向切點的向量」當法向量最快，不用背移項後的公式。

正確答案　(1) 5　(2) 5　(3) 外切

C₁ 的圓心是 (0, 0)、半徑 2；C₂ 的圓心是 (5, 0)、半徑 3。兩圓心距離 = √(5 − 0)² + 0² = 5，而 r₁ + r₂ = 2 + 3 = 5。圓心距剛好等於兩半徑之和，代表兩圓從外面碰在一起，是外切，只有一個公共點。兩圓關係全部靠圓心距 d 和 r₁ + r₂、|r₁ − r₂| 比大小：d > r₁ + r₂ 外離、d = r₁ + r₂ 外切、|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ 相交、d = |r₁ − r₂| 內切、d < |r₁ − r₂| 內含。

正確答案　(1) 4　(2) 2　(3) 16

兩條斜線的交點由 x + 2y = 8 與 2x + y = 10 聯立而得：由第二式 y = 10 − 2x，代入第一式 x + 20 − 4x = 8，得 −3x = −12、x = 4、y = 2，交點是 (4, 2)。可行區域的四個頂點是 (0, 0)、(5, 0)、(4, 2)、(0, 4)。把它們代入 f = 3x + 2y：0、15、16、8，最大值是 16，發生在 (4, 2)。線性規劃的答案永遠在頂點上，所以工作只有兩件：把所有頂點找齊、一個一個代進去比。

正確答案　圓心 (2, 2)、半徑 √5

圓過 A(1, 0) 與 B(3, 0)，圓心到這兩點等距，所以圓心一定落在 AB 的中垂線上，也就是 x = 2 這條鉛直線。題目又說圓心在 y = x 上，兩條線交在 (2, 2)，這就是圓心。半徑 = 圓心到 A 的距離 = √(2 − 1)² + (2 − 0)² = √1 + 4 = √5（約 2.236）。凡是「過某兩點」的圓，先寫中垂線一定沒錯，比設 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 再解三元一次方程組快得多。

正確答案　7∕3

斜率就是 Δy ∕ Δx。y 從 3 走到 10，差 7；x 從 2 走到 5，差 3。所以 m = 7∕3。分子放 y 的差、分母放 x 的差，兩個點誰減誰不重要，但上下一定要用同一個順序——A 減 B 就兩邊都 A 減 B，混著用就會多一個負號。

正確答案　y = 3x − 1

有一個點又有斜率，就直接寫點斜式：y − 2 = 3(x − 1)。展開得 y − 2 = 3x − 3，移項就是 y = 3x − 1。點斜式是這一章最省力的工具，看到「過某點、斜率某數」不必先設 y = mx + b 再解 b，套進去展開就好。

正確答案　y = 3x + 2

斜截式 y = mx + b 就是為這種題目設計的：m 是斜率、b 是 y 截距，兩個數字直接填進去，y = 3x + 2。注意 y 截距是一個數字 2，不是點 (0, 2)；題目問方程式的時候填數字，問「交 y 軸於哪一點」的時候才寫成座標。

正確答案　−3∕4

一般式 ax + by + c = 0 的斜率是 −a∕b，這裡 a = 3、b = 4，所以 m = −3∕4。忘記公式就自己移項還原成斜截式：4y = −3x − 5，兩邊除以 4 得 y = −(3∕4)x − 5∕4，x 前面的係數就是斜率。兩個做法答案一樣，公式只是把移項的結果先背起來。

正確答案　(1) 2　(2) −1∕2

平行就是「走同一個方向」，斜率完全一樣，所以還是 2。垂直則是兩條線的斜率相乘等於 −1，所以 m₂ = −1 ∕ 2。垂直的斜率有一個好記的說法：把原來的分數上下顛倒，再加一個負號——2 顛倒是 1∕2，加負號就是 −1∕2。

正確答案　(3, 4)

中點就是兩個座標各自取平均，x 和 y 分開算互不干擾：x = (2 + 4) ∕ 2 = 3，y = (3 + 5) ∕ 2 = 4，中點是 (3, 4)。中點公式不必背成一長串，記成「兩個 x 平均、兩個 y 平均」就夠了，三維空間也是同一招。

正確答案　(x − 2)² + (y − 3)² = 25

標準式的括號裡是「x 減圓心的 x」「y 減圓心的 y」，等號右邊放的是半徑的平方而不是半徑。圓心 (2, 3) 直接填成 (x − 2)² + (y − 3)²，半徑 5 要平方成 25。最常見的錯誤就是右邊寫 5，記住等號右邊永遠是 r²。

正確答案　13√5 ∕ 10（也可寫成 13 ∕ 2√5，約 2.907）

距離公式：d = |ax₀ + by₀ + c| ∕ √a² + b²。分子把點代進直線式再取絕對值：|4(1) + 2(2) + 5| = |4 + 4 + 5| = 13。分母是係數的平方和開根號：√4² + 2² = √20 = 2√5。所以 d = 13 ∕ 2√5，分母有理化之後是 13√5 ∕ 10，約 2.907。分子沒有絕對值就可能算出負的距離，那一定是錯的。

正確答案　2

兩條線的 x、y 係數完全一樣，代表它們平行，可以直接用平行線距離公式 d = |c₁ − c₂| ∕ √a² + b² = |11 − 1| ∕ √3² + 4² = 10 ∕ 5 = 2。不想背公式也行：在 L₂ 上隨便找一點，例如令 x = 1 得 3 + 4y + 1 = 0、y = −1，點 (1, −1) 到 L₁ 的距離是 |3 − 4 + 11| ∕ 5 = 10 ∕ 5 = 2，一樣的答案。要用這個公式，前提是兩式的 a、b 已經化成相同的數字。

正確答案　(1) 虛線　(2) 在。塗的是通過 (0, 0) 的那一側，也就是直線 x + y = 2 的左下半平面

畫半平面固定三個步驟。第一步，把不等號改成等號畫出邊界線 x + y = 2，它通過 (2, 0) 與 (0, 2)。第二步，看不等號有沒有等號：這題是嚴格小於，邊界上的點不算解，所以邊界畫虛線；如果是 ≤ 就畫實線。第三步，挑一個不在線上的點試試看，最好用原點：把 (0, 0) 代入得 0 + 0 − 2 = −2 < 0 成立，所以原點這一側就是要塗色的區域，也就是直線的左下方。試點法比記「大於就往上、小於就往下」可靠得多，因為那個口訣在 y 的係數是負數時會反過來。