課程地圖 ／ 第十三章
矩陣
矩陣長得像一張表，但它其實有兩個完全不同的身分。第一個身分是資料表格：把「三家店 × 四種商品」的數字排好，乘法就自動幫你把單價和數量配對加總。第二個身分是變換：一個 2×2 方陣就是一台機器，把平面上每一個點搬到新的位置——放大、旋轉、翻面、推歪，全部只用四個數字描述。整章的難點不在算，在於看懂手上這個矩陣現在是哪一個身分。下面每一張圖都可以拉、可以按。
這一章包含的單元 依序是矩陣的意義與相等、加法減法與係數積、矩陣的乘法、二階反方陣、矩陣與資料表格、平面上的線性變換、重要的線性變換、線性變換的面積比、轉移矩陣，最後收在反方陣的應用與矩陣乘法的幾何意涵。章節架構依老王看世界〈108課綱學測數學總複習第十三章 矩陣〉的十一個主題整理。原文目前只放上目錄，作者註明內容後續更新，習題區也只有「題目一」「題目二」兩個標題；所以下面的觀念說明、互動圖與 24 道習題，是照著原文列出的架構另外設計的，等原文內容補上來之後可以直接替換或接在後面。
矩陣是什麼：一張表、兩個下標
把數字排成 m 列 n 行的長方形陣列，就叫一個 m×n 矩陣。列在前、行在後，這個順序整章不會變。
先把講法統一
- 列與行
- 橫的叫列（row），直的叫行（column）。a23 是「第 2 列第 3 行」那個數，寫下標時永遠先列後行。
- 階數
- 列數等於行數就叫方陣；n 列 n 行叫 n 階方陣。學測範圍幾乎都在二階。
- 兩個矩陣相等
- 條件很硬：同階，而且每一個對應位置的數都相等。所以一個矩陣等式其實是好幾個方程式綁在一起，這正是考題最愛的出法。
- 零矩陣與單位方陣
- 全部是 0 的叫零矩陣 O；主對角線是 1、其餘是 0 的方陣叫單位方陣 I。它們在矩陣世界裡分別扮演 0 和 1 的角色。
加減與係數積：位置對位置，沒有花招
加法、減法、乘一個數這三件事都是逐格處理，跟你直覺想的一樣。唯一要守的規矩是加減必須同階——3×2 的表格沒辦法跟 2×3 的表格對齊，硬加就沒有意義。
(A ± B)ij = aij ± bij (kA)ij = k aij
先別急著跳到乘法 加減和係數積之所以簡單，是因為它們把矩陣純粹當成「一堆數字的容器」。等一下的乘法完全不是這樣——它才是矩陣真正的個性所在，也是唯一需要重新學一次的運算。
A 的四個數（上排左右、下排左右）
B 的四個數
矩陣的乘法：左邊的列，碰右邊的行
乘法是這一章唯一需要重學的運算。AB 的第 i 列第 j 行那一格，等於把 A 的第 i 列和 B 的第 j 行配對相乘再全部加起來——就是兩個向量做內積。整條規則只有這一句。
先檢查能不能乘
A 是 m×n、B 是 p×q，能乘的條件是 n = p：左邊的行數要等於右邊的列數。乘出來的 AB 是 m×q。把兩個階數並排寫成 (m×n)(p×q)，中間那兩個數對上就能乘，剩下外側那兩個數就是答案的階數。
乘法沒有交換律 AB 和 BA 通常不相等，有時候一邊能乘、另一邊根本階數不合。但結合律 (AB)C = A(BC) 和分配律 A(B + C) = AB + AC 都成立。也就是說：可以隨便加括號，但不可以隨便換邊。等一下看完線性變換就會知道為什麼——先旋轉再翻面，跟先翻面再旋轉，本來就是兩件事。
A 的四個數
B 的四個數
矩陣與資料表格：乘法在幫你配對加總
把「列碰行」那條規則放進真實資料就會發現，它不是硬背的：矩陣乘法就是自動幫你把單價和數量配對加總。一列代表一個對象，一行代表一個項目，乘完剛好就是你要的總計。
假設一間早餐店賣漢堡和蛋餅，星期一賣了 20 個漢堡、15 份蛋餅，星期二賣了 10 個漢堡、25 份蛋餅。把數量排成一個 2×2 矩陣（列＝日期，行＝品項），單價排成一個 2×1 矩陣：
N=20151025，P=4535，NP=14251325
第一列算的是 20×45 + 15×35 = 900 + 525 = 1425，正好是星期一的營業額；第二列是 10×45 + 25×35 = 1325，星期二的營業額。你沒有背公式，你只是把該配的配在一起。
| 日期 | 漢堡（45 元） | 蛋餅（35 元） | 營業額 |
|---|---|---|---|
| 星期一 | 20 | 15 | 1425 |
| 星期二 | 10 | 25 | 1325 |
為什麼單價要放右邊、而且直著寫 因為乘法是「左列碰右行」。數量矩陣的一列是「某一天的各品項數量」，單價矩陣的一行是「各品項的單價」，兩者一配對相乘再加總，就是那一天的總金額。階數對不上的時候通常不是題目錯，是你把兩張表放反了——把 (2×2)(2×1) 寫出來檢查中間那兩個數，一秒就知道。
行列式與二階反方陣：一個數決定有沒有解
二階方陣 A = abcd 的行列式寫成 det A 或 abcd，值是 ad − bc。這一個數同時回答三個問題：反方陣存不存在、聯立方程式有沒有唯一解、變換之後面積放大幾倍。
反方陣的公式：換位、變號、除行列式
當 det A ≠ 0 時，A 的反方陣是
A−1=1 ∕ (ad − bc)d−b−ca
口訣三步：主對角線兩個數對調（a 和 d 換位）、副對角線兩個數變號（b 和 c 加負號）、整個除以行列式。反方陣的定義是 AA−1 = A−1A = I，注意這是矩陣裡唯一左右乘都相等的情形。
det = 0 的時候發生了什麼 det A = 0 代表 A 的兩列（或兩行）成比例，這台機器把整個平面壓扁成一條線甚至一個點。壓扁之後資訊就回不來了，所以反方陣不存在；對應的聯立方程式不是無解就是無限多解。看到 det = 0，立刻改成討論題來寫。
用反方陣解二元一次聯立
把 ax + by = e、cx + dy = f 寫成 Ax = b，兩邊左乘 A−1 就得到 x = A−1b。這跟上一章的克拉瑪公式其實是同一件事的兩種寫法：克拉瑪把答案寫成兩個行列式相除，反方陣把答案寫成一次矩陣乘法。要注意左乘不能寫成右乘——矩陣沒有交換律，bA−1 連階數都對不上。
A 的四個數
聯立方程式右邊的常數（解聯立時才會用到）
平面上的線性變換：四個數字就是一台機器
把平面上的點 (x, y) 直著寫成一個 2×1 矩陣，左乘一個 2×2 方陣，就得到一個新的點。這台機器有兩個死守的性質：原點永遠不動，而且直線變換後還是直線、平行還是平行。這就是「線性」兩個字的意思。
abcdxy=ax + bycx + dy
矩陣的兩行，就是兩個基底的去向
這是整章最好用的一句話：把 (1, 0) 代進去會得到第一行，把 (0, 1) 代進去會得到第二行。反過來說，只要知道兩個基本方向被送到哪裡，矩陣就寫出來了——不必解任何方程式，直接抄成兩行就好。考題問「求某個變換的矩陣」，九成都是用這一招。
幾個一定要認得的變換
- 伸縮 k00h 橫向放大 k 倍、縱向放大 h 倍。k = h 時是等比例放大縮小。
- 旋轉 θ 角 cos θ−sin θsin θcos θ 繞原點逆時針轉。第一行就是 (1, 0) 轉過去的落點 (cos θ, sin θ)，用上面那句話一秒推出來。
- 鏡射 對 x 軸是 100−1、對 y 軸是 −1001、對直線 y = x 是 0110（就是把兩個坐標對調）。
- 推移 1k01 把圖形沿著橫向推歪，高度不變。撲克牌整疊往旁邊推的那個樣子。
- 投影 投到 x 軸是 1000 整個平面被壓成一條線，det = 0，這個變換回不去。
面積比：行列式的絕對值
一個圖形經過矩陣 A 變換之後，面積會變成原來的 |det A| 倍。這個倍率跟圖形長什麼樣子完全無關，三角形、圓形、隨便畫的一團都一樣。行列式的正負號則記錄了方向：負號代表圖形被翻面了（原本逆時針的邊界變成順時針）。det = 0 就是被壓扁，面積歸零。
變換後的面積 = |det A| × 原面積
矩陣的四個數（也可以按上面的按鈕直接套用常見變換）
矩陣乘法的幾何意涵：先做哪一個，差很多
兩個變換接著做，等於把兩個矩陣相乘。要小心的是順序：先做 M1 再做 M2，合起來的矩陣是 M2M1——後做的寫在左邊。因為點是從右邊被送進來的，右邊的矩陣先碰到它。
M2(M1x) = (M2M1)x
這一句同時解釋了兩件事。第一，矩陣乘法的結合律是理所當然的：不管你先把兩台機器接起來、還是讓點一台一台過，結果本來就一樣。第二，矩陣乘法沒有交換律也是理所當然的：先翻面再旋轉，和先旋轉再翻面，本來就會落在不同的地方。下面這張圖把兩種順序並排放，自己按按看差在哪裡。
行列式在這裡也很聽話 det(M2M1) = det M2 × det M1。面積先放大 3 倍再放大 2 倍就是 6 倍，非常合理。也因此，只要其中一步的行列式是 0，整個合成就一定是 0——壓扁過一次就再也回不來。
轉移矩陣：把「下個月會怎樣」寫成一次乘法
有一群對象在幾個狀態之間流動——用 A 牌的人可能換去 B 牌、晴天之後可能是雨天。把「從哪一個狀態跑到哪一個狀態的比例」排成矩陣，就叫轉移矩陣。接下來每過一期，只要做一次矩陣乘法。
怎麼排、怎麼檢查
把現在的分布寫成直的 x0，轉移矩陣 T 的第 i 列第 j 行代表「從狀態 j 跑到狀態 i 的比例」。這樣排的好處是下一期直接寫成 x1 = Tx0，第 n 期就是 Tnx0。
寫完先檢查每一行的和是不是 1 因為「從狀態 j 出發的人，總得跑到某一個狀態去」，所以同一行的數字加起來一定是 1。這是最快的除錯法：行和不是 1，就是你把列和行寫反了。
穩定狀態：乘再多次也不動的那個分布
一直乘下去，分布通常會收斂到一個不再變化的向量 x，它滿足 Tx = x。實際解法就是把這個矩陣等式攤成方程式，再配上「兩個比例加起來等於 1」這個條件，兩式解兩個未知數。學測考到這裡通常就是要你解這組聯立，不必真的算 T 的一百次方。
轉移比例與起始分布
記憶軸：卡住的時候先想這四句
這一章符號多、規則雜，但真正要記的判斷只有四個。按一顆看它在講什麼。
按上面任一顆，這裡會說明那一句在講什麼。
習題：基本與進階
下面 24 題把這一章的矩陣走過一遍。可以直接在格子裡填答案，用底下的符號鍵盤點按也可以；分數請用斜線寫成 3/5 這樣，寫成小數 0.6 一樣算對，百分比只要填小數或分數、不用打百分號，角度只要填數字。想寫在紙上就用「拍照或上傳 PDF 作答」把手寫過程帶進來，照片和檔案只留在你自己的裝置上，不會上傳到任何地方。按「檢查答案」之後，對的會標正確，錯的會直接把正確答案和解法攤開。
矩陣的答案怎麼填 問到某個矩陣時，會把它的每一格拆成獨立的格子，標成 (1,1)、(1,2) 這樣的位置，先列後行，一格填一個數就好，不用打括號和逗號。負號用鍵盤上的 −，或直接打鍵盤的減號都可以。
基本14 題 矩陣相等 · 加減與係數積 · 乘法與階數 · 行列式 · 反方陣 · 解聯立 · 資料表格 · 線性變換 · 面積比
1已知 x+132y−2 = 4325，求 x、y。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 x = 3 ； y = 7 ； 二階
兩個矩陣相等，代表同階而且每一個對應位置都相等。所以這一個矩陣等式其實是四個方程式綁在一起：x+1 = 4、3 = 3、2 = 2、y−2 = 5。
有東西要解的只有第一個和第四個：x = 4 − 1 = 3，y = 5 + 2 = 7。中間兩個是恆等式，用來確認這兩個矩陣真的可以相等。
矩陣相等之所以是考題最愛的出法，就是因為它可以把好幾個方程式包成一個式子。看到矩陣等式，先數一數有幾格，就知道自己手上有幾條方程式可以用。
2設 A = 2−103、B = 14−25，求 A+B 與 2A−B 的指定位置。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ； 8 ； −6 ； 2
加減與係數積都是逐格處理：A+B = 33−28，所以 (1,1) 是 2+1 = 3，(2,2) 是 3+5 = 8。
2A = 4−206，再減 B 得 2A−B = 3−621。(1,2) 是 −2 − 4 = −6，(2,1) 是 0 − (−2) = 2。
這裡唯一會錯的地方是減法的負負得正。係數積要記得每一格都要乘，不是只乘第一格——矩陣沒有「提出來」這種寫法。
3設 A = 1234、B = 0−121，求乘積 AB 的四個位置。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AB = 4181
每一格都是「A 的那一列」碰「B 的那一行」：(1,1) 用 A 的第 1 列 (1, 2) 和 B 的第 1 行 (0, 2)，得 1×0 + 2×2 = 4。
(1,2) 用 A 的第 1 列和 B 的第 2 行 (−1, 1)：1×(−1) + 2×1 = 1。(2,1) 用 A 的第 2 列 (3, 4) 和 B 的第 1 行：3×0 + 4×2 = 8。(2,2)：3×(−1) + 4×1 = 1。
手算的時候，左手橫著壓 A 的那一列、右手直著壓 B 的那一行，配對相乘再相加。這個動作做熟之後，三階、四階都是同一套。
4沿用上一題的 A、B，這次求 BA，並判斷它跟 AB 是不是同一個矩陣。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 BA = −3−458 ； 不相等
換成 B 在左邊，就變成「B 的列碰A 的行」：(1,1) 是 0×1 + (−1)×3 = −3，(1,2) 是 0×2 + (−1)×4 = −4，(2,1) 是 2×1 + 1×3 = 5，(2,2) 是 2×2 + 1×4 = 8。
上一題的 AB 是 4181，這一題的 BA 是 −3−458，四格沒有一格相同。
這就是矩陣乘法沒有交換律最直接的證據。等看完線性變換那一節會更清楚：矩陣是動作，先翻面再旋轉跟先旋轉再翻面本來就是兩件事。所以化簡 (A+B)2 千萬不要寫成 A2+2AB+B2，正確的是 A2+AB+BA+B2。
5設 A = 231415（2×3）、B = 102030（3×1）。求 AB 的階數與內容。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2 列 1 行 ； 110 ； 210
階數先寫出來檢查：(2×3)(3×1)，中間兩個 3 對上了所以可以乘，剩下外側的 2 和 1 就是答案的階數 —— AB 是 2×1。
第 1 列：2×10 + 3×20 + 1×30 = 20 + 60 + 30 = 110。第 2 列：4×10 + 1×20 + 5×30 = 40 + 20 + 150 = 210。
注意這一題反過來乘就不成立：BA 是 (3×1)(2×3)，中間的 1 和 2 對不上，根本不能乘。所以「沒有交換律」有時候不只是答案不同，而是另一邊連寫都寫不出來。
6設 A = 2103，I 是二階單位方陣。求 A2 的指定位置與 AI 的 (1,2)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 A2 = 4509 ； AI 的 (1,2) = 1
A2 就是 A 自己乘自己：(1,1) = 2×2 + 1×0 = 4，(1,2) = 2×1 + 1×3 = 5，(2,1) = 0×2 + 3×0 = 0，(2,2) = 0×1 + 3×3 = 9。
I = 1001 在矩陣世界裡扮演 1 的角色，AI = IA = A，所以 (1,2) 就是 A 原本的 (1,2) = 1，不用真的乘。
這一題的 A 是上三角矩陣（左下角是 0），平方之後左下角還是 0，主對角線剛好是原本兩個數各自平方。這個規律在算 An 的題目常常出現，看到左下角是 0 就可以先猜一下。
7計算兩個行列式，並判斷第二個矩陣有沒有反方陣。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2 ； 0 ； 沒有
二階行列式是主對角線相乘減副對角線相乘：3×4 − 5×2 = 12 − 10 = 2；6×2 − 4×3 = 12 − 12 = 0。
行列式等於 0 的矩陣沒有反方陣。從數字上看得出原因：第二個矩陣的第二列 (3, 2) 剛好是第一列 (6, 4) 的一半，兩列成比例，這台機器把整個平面壓扁成一條線。
壓扁之後不同的點會落到同一個地方，資訊回不來了，所以沒有任何矩陣能把它還原。這就是「det = 0 就沒有反方陣」的幾何理由，比背公式好記得多。
8設 A = 3512，求 det A 與反方陣 A−1 的四個位置。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 det A = 1 ； A−1 = 2−5−13
det A = 3×2 − 5×1 = 1，不是 0，所以反方陣存在。
套三步口訣：主對角線對調（3 和 2 互換）、副對角線變號（5 變 −5、1 變 −1）、除以行列式（這裡除以 1，等於不用除）。得到 A−1 = 2−5−13。
驗算一下：AA−1 的 (1,1) = 3×2 + 5×(−1) = 1，(1,2) = 3×(−5) + 5×3 = 0，確實是單位方陣。
行列式剛好是 1 的矩陣特別好用，因為不用除分數。考卷上出現這種矩陣通常是出題者的善意，看到 det = 1 可以放心往下算。
9用反方陣解聯立方程式：3x + 5y = 11，x + 2y = 4。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 x = 2 ； y = 1
先寫成矩陣形式 3512xy = 114。係數矩陣正好是上一題的 A，反方陣已經算過了。
兩邊左乘 A−1：xy = 2−5−13114 = 21。第一列是 2×11 + (−5)×4 = 22 − 20 = 2，第二列是 (−1)×11 + 3×4 = −11 + 12 = 1。
代回原式檢查：3(2) + 5(1) = 11 ✓，2 + 2(1) = 4 ✓。
一定要左乘，不能右乘。點是直著寫在右邊的，矩陣要從左邊碰上去才對得上階數 —— 寫成右乘的話 (2×1)(2×2) 中間兩個數對不上，連式子都不合法。
10一間早餐店賣漢堡（每個 45 元）和蛋餅（每份 35 元）。星期一賣出 20 個漢堡、15 份蛋餅；星期二賣出 10 個漢堡、25 份蛋餅。把數量排成 2×2 矩陣、單價排成 2×1 矩陣後相乘，求兩天的營業額。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1425 ； 1325 ； 2750
數量矩陣 N = 20151025（列＝日期，行＝品項），單價 P = 4535。
NP 的第 1 列 = 20×45 + 15×35 = 900 + 525 = 1425；第 2 列 = 10×45 + 25×35 = 450 + 875 = 1325。兩天合計 1425 + 1325 = 2750。
這一題不用背任何公式，矩陣乘法自己把單價和數量配好了。這就是矩陣的另一個身分：它不是變換，它是一張會自動加總的表格。階數對不上的時候通常不是題目錯，是兩張表放反了。
11線性變換的矩陣是 2003。求點 (1, 1) 與點 (−1, 2) 變換後的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (2, 3) ； (−2, 6)
把點直著寫在右邊乘進去：200311 = 2×1 + 0×10×1 + 3×1 = 23。
同樣做法：2×(−1) + 0×20×(−1) + 3×2 = −26。
對角矩陣就是純伸縮：橫坐標乘 2、縱坐標乘 3，跟另一個坐標完全無關。這種矩陣的行列式是 2×3 = 6，正好是面積放大的倍率 —— 橫向拉 2 倍、縱向拉 3 倍，面積當然是 6 倍。
12繞原點逆時針旋轉 90° 的矩陣是 0−110。求點 (3, 1) 的像，以及 (1, 0) 被送到哪裡。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (3, 1) → (−1, 3) ； (1, 0) → (0, 1)
(3, 1)：x' = 0×3 + (−1)×1 = −1，y' = 1×3 + 0×1 = 3。
(1, 0)：x' = 0×1 + (−1)×0 = 0，y' = 1×1 + 0×0 = 1。也就是 x 軸上的單位點被轉到了 y 軸上，正是逆時針 90° 該有的結果。
注意 (1, 0) 的像 (0, 1) 就是矩陣的第一行。這不是巧合：把 (1, 0) 乘進去，第二個坐標是 0，等於只留下第一行。所以矩陣的兩行就是兩個基本方向的去向，要寫某個變換的矩陣，只要問「(1,0) 跑到哪、(0,1) 跑到哪」，抄成兩行就好。
13對 x 軸鏡射的矩陣是 100−1，推移矩陣是 1201。求 (2, 5) 鏡射後的像，以及 (1, 1) 推移後的像。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (2, −5) ； (3, 1)
鏡射：x' = 1×2 + 0×5 = 2，y' = 0×2 + (−1)×5 = −5。橫坐標不動、縱坐標變號，正是對 x 軸翻面。
推移：x' = 1×1 + 2×1 = 3，y' = 0×1 + 1×1 = 1。高度沒變，但整個往右推了 —— 推的量是 2 乘上原本的高度 y，所以越高的點被推得越遠。
兩個矩陣的行列式分別是 −1 和 1，絕對值都是 1，所以面積完全沒變。鏡射的負號記錄的是「圖形被翻面了」，推移沒有翻面所以是正的。撲克牌整疊推歪之後，牌的張數和總面積本來就不會變。
14一個面積 5 的三角形分別經過 M = 3124 與 N = 2412 變換，求變換後的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 det M = 10，面積 50 ； det N = 0，面積 0
det M = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10，面積變成 5 × |10| = 50。
det N = 2×2 − 4×1 = 4 − 4 = 0，面積變成 5 × 0 = 0 —— 整個三角形被壓成一條線段，面積歸零。
面積比 |det| 跟原本圖形長什麼樣子完全無關，三角形、圓形、隨便畫的一團都乘同一個倍率。這也是為什麼「det = 0」和「沒有反方陣」是同一件事：面積被壓成 0 的變換，不可能有辦法還原。
進階10 題 矩陣多項式 · A 的 n 次方 · 反方陣性質 · 含參數討論 · 旋轉合成 · 變換順序 · 面積比 · 轉移矩陣
1設 A = 12−13。求 A2 的指定位置，並求使 A2 − 4A + kI = O 成立的 k。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 A2 = −18−47 ； k = 5
A2：(1,1) = 1×1 + 2×(−1) = −1，(1,2) = 1×2 + 2×3 = 8，(2,1) = (−1)×1 + 3×(−1) = −4，(2,2) = (−1)×2 + 3×3 = 7。
4A = 48−412，所以 A2 − 4A = −500−5 = −5I。要讓整個式子等於零矩陣，k = 5。
這裡出現的 4 和 5 不是巧合：4 是 A 主對角線的和（1 + 3），5 是 det A（1×3 − 2×(−1) = 5）。任何二階方陣都滿足 A2 − (對角線和)A + (det)I = O。記住這一條，算 A3、A4 時可以一路降階。
2設 A = 1101、B = 2003，找出次方的規律。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ； 5 ； 100 ； 8 ； 27
先算前幾次找規律：A2 = 1201，A3 = 1301。右上角每乘一次就加 1，所以 An = 1n01，A100 的 (1,2) 就是 100。
B 是對角矩陣，次方只要各自對角線做次方：B3 = 80027。
看到求 An 的題目，先算 A2 和 A3 看規律，不要硬乘。這裡的 A 是推移矩陣：推一次移 1 格，推 n 次就移 n 格，用幾何意義想比算還快。B 是伸縮矩陣，拉 n 次就是倍率自乘 n 次。
3設 A = 2132、B = 1327。驗證 det(AB) = det A · det B，並求 (AB)−1。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ； 1 ； 1 ； 23 ； 4
det A = 2×2 − 1×3 = 1，det B = 1×7 − 3×2 = 1，所以 det(AB) = 1×1 = 1。
實際乘出來檢查：AB = 413723，det = 4×23 − 13×7 = 92 − 91 = 1 ✓。
因為 det = 1，反方陣直接用口訣：(AB)−1 = 23−13−74，(1,1) = 23，(2,2) = 4。
另一條該記的性質是 (AB)−1 = B−1A−1 —— 順序要顛倒。用幾何意義想就很自然：先穿襪子再穿鞋，脫的時候一定是先脫鞋再脫襪子。
4設 A = k32k−1。求使 A 沒有反方陣的所有 k，以及 k = 1 時的行列式。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 k = 3 或 k = −2 ； k = 1 時 det A = −6
沒有反方陣就是行列式等於 0。det A = k(k−1) − 3×2 = k2 − k − 6。
因式分解得 (k − 3)(k + 2) = 0，所以 k = 3 或 k = −2。
k = 1 時：det A = 1×0 − 3×2 = −6，不是 0，所以這時候反方陣是存在的。
含參數的矩陣題，幾乎都是在問行列式什麼時候等於零。因為那一個值同時決定了三件事：反方陣存不存在、聯立有沒有唯一解、面積會不會被壓成 0。看到參數就先把 det 寫出來，通常就是一個二次方程式。
5旋轉 θ 角的矩陣是 cos θ−sin θsin θcos θ。先逆時針轉 30° 再逆時針轉 60°，求合成後的變換。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 90° ； 合成矩陣 = 0−110 ； 旋轉 60° 的 (1,1) = 1/2
轉 30° 再轉 60°，總共當然是轉 90°。用矩陣算也會得到同一件事：R(60°)R(30°) = R(90°) = 0−110，因為 cos 90° = 0、sin 90° = 1。
旋轉 60° 的矩陣是 1/2−√3/2√3/21/2，(1,1) = cos 60° = 1/2。
把 R(α)R(β) 真的乘開，得到的四格剛好就是 和角公式 cos(α+β) 與 sin(α+β) 的樣子。三角函數的和角公式和矩陣乘法，其實是同一件事的兩種寫法 —— 這也是為什麼旋轉矩陣特別好用。
6設 M1 是對 x 軸鏡射 100−1，M2 是逆時針旋轉 90° 0−110。比較「先鏡射再旋轉」與「先旋轉再鏡射」。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 M2M1 = 0110 ； M1M2 = 0−1−10 ； 不相同
先鏡射再旋轉，後做的寫在左邊，所以是 M2M1 = 0110，(1,2) = 1、(2,1) = 1。
反過來 M1M2 = 0−1−10，(1,2) = −1。兩個矩陣不相同。
而且它們各有幾何意義：0110 是對直線 y = x 鏡射（把兩個坐標對調），0−1−10 是對 y = −x 鏡射。同樣兩個動作，換個順序就得到兩條不同的鏡射軸。
這一題就是「矩陣乘法沒有交換律」的幾何版本。先做的寫右邊、後做的寫左邊，理由是點直著寫在最右邊，右邊的矩陣先碰到它。這個順序寫反，整題就會全錯。
7設 M = 2113。一個面積 12 的圖形先經 M 變換一次，再經 M 變換一次，求各階段的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 det M = 5 ； 60 ； 300
det M = 2×3 − 1×1 = 5，所以每經過一次變換，面積就乘 5。
變換一次：12 × 5 = 60。變換兩次：60 × 5 = 300。
也可以直接用 det(M2) = (det M)2 = 25，一次算完：12 × 25 = 300。
det(AB) = det A · det B 這條性質在面積題上特別直觀：面積倍率會相乘，就像連續打折一樣。也因此只要中間有任何一步的行列式是 0，整個合成的行列式就是 0 —— 壓扁過一次，後面再怎麼變也回不來。
8市場上有 A、B 兩個品牌。每個月用 A 的人有 80% 續用 A、20% 轉去 B；用 B 的人有 30% 轉來 A、70% 續用 B。一開始各占一半，求後續的市占率。（比例請填小數或分數）
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 0.55 ； 0.575 ； 0.6 ； 0.4
轉移矩陣 T = 0.80.30.20.7，起始分布 0.50.5。先檢查每一行的和都是 1 ✓。
一個月後：0.8(0.5) + 0.3(0.5) = 0.4 + 0.15 = 0.55。兩個月後：0.8(0.55) + 0.3(0.45) = 0.44 + 0.135 = 0.575。
穩定狀態要滿足 Tx = x：設 A 的比例是 a、B 是 b，則 0.8a + 0.3b = a，整理得 0.3b = 0.2a。再配上 a + b = 1，解得 a = 0.6、b = 0.4。
注意分布是往穩定值靠過去的：0.5 → 0.55 → 0.575 → … 一路逼近 0.6，但每次只走掉剩下差距的一半。所以題目問「長期」時不要真的乘一百次，直接解 Tx = x 那組聯立就好。
9轉移矩陣 T = 0.90.40.10.6，一開始全部都在狀態一，也就是起始分布是 10。求一期後與長期穩定的分布。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 0.9 ； 0.1 ； 0.8 ； 0.2
一期後 = T10 = 0.90.1。起始分布是 (1, 0) 的時候，答案就是矩陣的第一行，不用真的乘。
穩定狀態：0.9a + 0.4b = a，得 0.4b = 0.1a，即 a = 4b。配上 a + b = 1 得 5b = 1，所以 b = 0.2、a = 0.8。
穩定分布跟起始分布完全無關。不管一開始是全在狀態一、全在狀態二還是各半，只要一直乘下去，最後都會停在同一個 (0.8, 0.2)。這一點常被拿來當考點：題目給你一個奇怪的起始值，其實根本用不到。
10用反方陣解聯立：2x + 3y = 8，5x + 8y = 21。並說明係數矩陣對面積做了什麼。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 det A = 1 ； x = 1 ； y = 2 ； 面積 1
係數矩陣 A = 2358，det A = 2×8 − 3×5 = 16 − 15 = 1，不是 0 所以有唯一解。
反方陣 A−1 = 8−3−52（對調、變號、除以 1）。左乘上去：xy = 8(8) − 3(21)−5(8) + 2(21) = 12。
代回檢查：2(1) + 3(2) = 8 ✓，5(1) + 8(2) = 21 ✓。因為 |det A| = 1，單位正方形變換後面積還是 1 —— 形狀被推歪了，但大小沒變。
這一題把整章串了起來：同一個行列式，在代數上決定聯立有沒有唯一解，在幾何上決定面積放大幾倍。det ≠ 0 代表沒有被壓扁、資訊沒有遺失，所以反方陣存在、解唯一。兩件事從來就是同一件事。