1判斷下列各數是「有理數」還是「無理數」：
快速填答
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 有理數 (2) 有理數 (3) 無理數 (4) 無理數
0.75 是有限小數，寫成 3⁄4 就現形了。√16 要先算：等於 4，是整數。看到根號先開開看，開得盡就是有理數。√7 開不盡、π 也開不盡，小數不終止也不循環，這兩個才是無理數。
課程地圖 ／ 數
數
學測數學的第一章，講的是「你手上這個東西到底是什麼數」。分不清有理數和無理數，後面的根式化簡、絕對值不等式就會一路卡住。這一頁把整章拆成四個可以動手拉的東西：分類、分點、距離、平均。
這一章要處理的兩件事 一是實數：有理數與無理數怎麼分、乘法公式、根式化簡與雙重根式、算幾不等式、數線上的分點公式。二是絕對值：含絕對值的一次方程式與一次不等式。內容依老王看世界〈第一章 數〉的單元架構編排。
這個數住在哪一層
數系是一層包一層的：自然數包在整數裡，整數包在有理數裡，有理數和無理數合起來才是實數。點下面任何一個數，看它會亮到哪一層。
實數 ℝ
有理數 ℚ 寫得成分數
整數 ℤ … −2, −1, 0, 1, 2 …
自然數 ℕ 1, 2, 3 …
無理數 寫不成分數
有理數與無理數沒有交集，兩個合起來剛好填滿整條數線。
數線分點器
分點公式最容易記錯的是「誰乘誰」。把 A、B 的位置和比例拉一拉，看紅段和黑段怎麼變，公式就不用背了。
絕對值數線
絕對值不要背「拆兩個式子」，要讀成距離：|x − a| 就是「x 到 a 有多遠」。等號、小於、大於三種情況，在數線上長得完全不一樣。
一句話 小於是夾在中間一段，大於是被切成左右兩條。把 k 拉到 0 看看：等號只剩一個點，小於直接無解。
算幾不等式：一張半圓圖
把長度 a 和 b 接成一條線，以它為直徑畫半圓。半徑就是算術平均 (a+b)⁄2，接點往上畫到圓弧的那條垂線就是幾何平均 √ab。垂線永遠躲在圓裡面，所以永遠比半徑短——這就是算幾不等式。
算術平均 (a+b)⁄2 =幾何平均 √ab =
觀念速查卡
寫題目寫到一半忘記公式的時候翻這裡。點標題展開，每張卡只講一件事。
單元一 實數
有理數與無理數怎麼分
有理數是能寫成 a ⁄ b（a、b 為整數，b ≠ 0）的數。它的小數展開一定會終止，或者從某一位開始循環。整數、有限小數、循環小數全都是有理數。
無理數是寫不成分數的實數，小數展開既不終止也不循環，例如 √2、√7、π、e。實數 = 有理數 ∪ 無理數，兩者沒有交集，合起來填滿整條數線。
判斷順序：先把數算到最簡（√9 要先算成 3），再看它能不能寫成分數。看到根號就說無理數，是最常見的失分點。
乘法公式
| 公式 | 展開結果 |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² |
| (a + b)(a − b) | a² − b² |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
| (a + b + c)² | a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca |
考試真正常用的是兩個變形：a² + b² = (a + b)² − 2ab(a − b)² = (a + b)² − 4ab只給你「和」與「積」的題目，一律先想這兩條，不要真的去解出 a 和 b。
根式化簡與分母有理化
化簡的目標是把根號裡的完全平方數提出來：√a²b = a√b （a ≥ 0）例如 √48 = √16×3 = 4√3。
分母不留根號。分母只有一項時，上下同乘那一項；分母有兩項時，上下同乘共軛根式（把中間的加號改減號、減號改加號），用平方差把根號消掉：
3 ⁄ √5 = 3√5 ⁄ 51 ⁄ (√3 − 1) = (√3 + 1) ⁄ 2
另外要記得 √x² = |x|，不是 x。x 有可能是負的，這個絕對值不能省。
雙重根式
形如 √a ± 2√b 的式子，要找兩個正數 m > n 使得 m + n = a 且 mn = b，然後：
√a + 2√b = √m + √n√a − 2√b = √m − √n
根號前不是 2 的時候先湊成 2：√7 + 4√3 裡的 4√3 = 2√12，所以 a = 7、b = 12，找 m + n = 7、mn = 12 得 m = 4、n = 3，答案是 √4 + √3 = 2 + √3。
減號的情況最後一定要檢查正負：√9 − 4√5 拆出來是 |√5 − 2|，因為 √5 ≈ 2.24 大於 2，答案才是 √5 − 2。順序寫反就整題錯。
算幾不等式
a ≥ 0、b ≥ 0 時，(a + b) ⁄ 2 ≥ √ab等號只在 a = b 時成立。三個數的版本是 (a + b + c) ⁄ 3 ≥ ∛(abc)。
兩種標準用法：和固定時，積最大（a + b = 12 → ab ≤ 36）；積固定時，和最小（x > 0 → x + 9⁄x ≥ 6）。
用之前先確認每一項都是正的，這是使用條件。另外一定要回頭寫「等號在 ? 時成立」，否則只證明了範圍，沒有證明極值真的取得到。
數線上的距離與分點公式
數線上 A 的座標是 a、B 的座標是 b：
距離 AB = | b − a |中點 = (a + b) ⁄ 2
P 在線段 AB 上、且 AP : PB = m : n（內分）：P = (n·a + m·b) ⁄ (m + n)P 在線段外（外分）時分母改成相減：P = (m·b − n·a) ⁄ (m − n)
分子是「交叉配」：靠近 A 的份數 m 要去乘 B 的座標。記反了位置就會跑到另一邊，算完拿距離驗算一次最保險。
單元二 絕對值
絕對值的定義與距離意義
定義是分段的：|x| = x（x ≥ 0）；|x| = −x（x < 0）但解題時更好用的是幾何意義：|x − a| 就是數線上 x 到 a 的距離，|x| 則是 x 到原點的距離。
常用性質：|x| ≥ 0 |ab| = |a||b| |a ⁄ b| = |a| ⁄ |b|√x² = |x| |a| − |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|
拆絕對值之前，先判斷括號裡是正是負。|π − 4| 裡面是負的，拆開要變號寫成 4 − π。
含絕對值的一次方程式
|x − a| = kk > 0 時有兩解 x = a + k 或 x = a − k；k = 0 時只有一解 x = a；k < 0 時無解，因為距離不會是負的。
兩邊都有絕對值時：|f| = |g| ⟺ f = g 或 f = −g
解完一定要代回原式檢查。過程中把絕對值拆掉時可能引入不符合條件的解，這種「增根」很常出現。
含絕對值的一次不等式
|x − a| < k ⟺ a − k < x < a + k離 a 不到 k，被夾在中間，答案是一段區間。
|x − a| > k ⟺ x < a − k 或 x > a + k離 a 超過 k，跑到兩側去，答案是兩條射線。
兩邊都是絕對值時可以直接平方（因為兩邊都非負）：|2x − 3| < |x| 平方後化成 (x − 1)(x − 3) < 0，得 1 < x < 3。
兩點距離和的極值
|x − p| + |x − q| 讀成「x 到 p 的距離，加上 x 到 q 的距離」。當 x 待在 p 和 q 之間，兩段加起來剛好就是 p 到 q 的距離，這就是最小值：
|x − p| + |x − q| 的最小值 = |p − q|而且整段 p ≤ x ≤ q 上都取得到，不是只有一個點。
反過來，| |x − p| − |x − q| | 的最大值是 |p − q|，發生在 x 跑到兩點外側的時候。一個求和的最小、一個求差的最大，不要記混。
一句話記法
整章最容易錯的七個地方，各配一句話。考前翻這張表就好。
| 情況 | 一句話 |
|---|---|
| 看到根號 | 先開開看再判斷——√9 是 3，是有理數 |
| 拆絕對值 | 先看括號裡是正是負——π − 4 是負的，所以 |π − 4| = 4 − π |
| √x² 化簡 | 答案是 |x| 不是 x，絕對值不能省 |
| 數線兩點 | 距離用減、中點用加除以二 |
| 分點公式 | 交叉配——AP:PB = m:n 時 P = (na + mb) ⁄ (m + n) |
| 絕對值不等式 | 小於夾中間一段，大於分兩邊兩條 |
| 算幾不等式 | 和固定積最大，等號只在兩數相等時 |
習題：基本與進階
兩種作答方式都可以。直接在欄位裡打答案，按「檢查答案」就會即時批改：對了顯示「正確」，錯了會把正確答案和解法攤開給你看。不方便打字的話，寫在紙上拍照，或把手寫檔轉成 PDF 上傳，載入後也會跳出正解讓你自己對。
怎麼寫答案 下面的鍵盤可以直接點，數字、根號、括號都會填進你正在打字的那一格（框線變紅的就是），分數用斜線例如 3/4，圓周率打 π。像 4√3、(√3+1)/2、√3/3 這樣寫都認得。答案等值就算對，不必跟標準答案長得一模一樣。上傳的照片或 PDF 只留在你自己的裝置上，不會傳到任何地方。
基本把定義和公式用一次
2化簡下列絕對值：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 12 (2) 4 − π
|−7| = 7、|3 − 8| = |−5| = 5，加起來 12。第二題不要急著把絕對值拿掉：π ≈ 3.14 比 4 小，所以 π − 4 是負的，|π − 4| 要變號寫成 4 − π。絕對值拆開前，先看括號裡是正是負。
3用乘法公式展開，回答指定的係數：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 9 (2) −20 (3) −16
(x+3)² = x² + 6x + 9，常數項 9。(2x−5)² = 4x² − 20x + 25，一次項係數 −20，負號不能掉。(x+4)(x−4) = x² − 16，這是平方差，常數項 −16。
4已知 a + b = 7、ab = 10，求：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 29 (2) 9
a² + b² = (a+b)² − 2ab = 49 − 20 = 29。(a−b)² = (a+b)² − 4ab = 49 − 40 = 9。整組乘法公式的用法都一樣：不要真的去解出 a 和 b，直接用「和」與「積」湊出來。
5化簡下列根式：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 4√3 (2) 6√2 (3) √3 ⁄ 3
把根號裡的完全平方數拆出來：48 = 16×3 所以 √48 = 4√3；72 = 36×2 所以 √72 = 6√2。√1⁄3 的分母有根號要處理掉：√1⁄3 = 1⁄√3 = √3⁄3。答案的分母還留著根號，就是沒化簡完。
6分母有理化：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 3√5 ⁄ 5 (2) (√3 + 1) ⁄ 2
3⁄√5 上下同乘 √5，得 3√5⁄5。1⁄(√3−1) 上下同乘共軛根式 (√3+1)，分母變成 (√3)² − 1² = 2，答案是 (√3+1)⁄2。分母是兩項的時候，乘的是「加變減、減變加」的那一個。
7化簡雙重根式 √7 + 4√3：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2 + √3
先把裡面湊成完全平方：7 + 4√3 = 4 + 4√3 + 3 = (2 + √3)²，所以 √7+4√3 = 2 + √3。訣竅是把 4√3 看成 2×2×√3，中間項一對上，兩邊自然就是 2 和 √3。最後記得取正的那個。
8數線上 A 的座標是 −2、B 的座標是 6，求：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 8 (2) 2
數線上兩點的距離就是座標相減取絕對值：|6 − (−2)| = 8。中點是兩個座標的平均：(−2 + 6)⁄2 = 2。距離用減、中點用加除以二，兩件事不要混在一起。
9數線上 A 的座標是 1、B 的座標是 9。P 在線段 AB 上且 AP : PB = 3 : 1，求 P 的座標：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 7
分點公式：AP:PB = m:n 時 P = (n·a + m·b)⁄(m+n)。代進去 P = (1×1 + 3×9)⁄(3+1) = 28⁄4 = 7。注意分子是「交叉配」——靠近 A 的份數 3 要去乘 B 的座標 9，這裡最多人顛倒。
10解方程式 |x − 3| = 5：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) x = 8 (2) x = −2
|x − 3| = 5 讀成「x 離 3 的距離是 5」。從 3 往右走 5 到 8，往左走 5 到 −2。用距離想，不必拆成兩個方程式也解得出來。
11解不等式 |x − 1| < 4，答案寫成 ? < x < ?：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 −3 < x < 5
|x − 1| < 4 讀成「x 離 1 不到 4」，所以 x 被夾在 1 的左右各 4 之內：−3 < x < 5。小於就是夾在中間，答案是一段連續的區間。
12設 a > 0、b > 0 且 a + b = 12，求 ab 的最大值：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 36
算幾不等式：(a+b)⁄2 ≥ √ab。已知 a + b = 12，所以 6 ≥ √ab，兩邊平方得 ab ≤ 36。等號在 a = b = 6 時成立，最大值就是 36。和固定、積最大，發生在兩數相等的時候。
進階兩三步才到得了答案
1化簡 √9 − 4√5：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 √5 − 2
9 − 4√5 = 5 − 4√5 + 4 = (√5 − 2)²，所以 √9−4√5 = |√5 − 2|。√5 ≈ 2.24 比 2 大，所以答案是 √5 − 2，不是 2 − √5。雙重根式最後這個正負判斷，才是真正的考點。
2已知 x = 2 + √3，求：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 4 (2) 14
x = 2 + √3，分母有理化得 1⁄x = 1⁄(2+√3) = 2 − √3。相加剛好把根號消掉：x + 1⁄x = 4。第二題用公式：x² + 1⁄x² = (x + 1⁄x)² − 2 = 16 − 2 = 14。不要真的去平方 (2+√3)²，那是繞遠路。
3設 a = 1 ⁄ (√3 − √2)、b = 1 ⁄ (√3 + √2)，求：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2√3 (2) 1
先各自有理化：a = 1⁄(√3−√2) = √3 + √2，b = 1⁄(√3+√2) = √3 − √2。所以 a + b = 2√3，ab = (√3)² − (√2)² = 3 − 2 = 1。這是共軛根式的標準用法，兩個一起出現時，和與積通常都會很乾淨。
4數線上 A 的座標是 −4、B 的座標是 8。P 在線段 AB 的延長線上（B 的外側）且 AP : PB = 5 : 1，求 P 的座標：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 11
P 在 B 的外側，是外分點，公式的分母要相減：P = (m·b − n·a)⁄(m−n) = (5×8 − 1×(−4))⁄(5−1) = 44⁄4 = 11。驗算一下：AP = |11 − (−4)| = 15、PB = |11 − 8| = 3，15:3 = 5:1，位置也確實在 B 的右邊，對了。
5解方程式 |x − 1| + |x − 4| = 7：
數字符號
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正確答案 (1) x = −1 (2) x = 6
|x−1| + |x−4| 是「x 到 1 的距離」加上「x 到 4 的距離」。1 和 4 本身相距 3，要湊到 7 就得跑到外面去，左右各多出 (7−3)⁄2 = 2。所以 x = 1 − 2 = −1 或 x = 4 + 2 = 6。用距離想，比分段討論快很多。
6求 |x − 2| + |x − 5| 的最小值：
數字符號
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正確答案 3
還是距離：x 到 2 的距離，加上 x 到 5 的距離。只要 x 待在 2 和 5 中間，兩段加起來就是 2 到 5 的距離 3，這就是最小值；一旦跑出去就開始多算。所以最小值是 3，而且在 2 ≤ x ≤ 5 這整段上都成立，不是只有一個點。
7解不等式 |2x − 3| < |x|，答案寫成 ? < x < ?：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 < x < 3
兩邊都是絕對值，而且都非負，可以直接平方：(2x−3)² < x²，展開得 3x² − 12x + 9 < 0，除以 3 得 x² − 4x + 3 < 0，因式分解 (x−1)(x−3) < 0，所以 1 < x < 3。兩邊都有絕對值時平方最快，不必分段。
8設 x > 0，求 x + 9⁄x 的最小值，以及此時的 x：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 6 (2) x = 3
x > 0 時 x 和 9⁄x 都是正的，套算幾不等式：x + 9⁄x ≥ 2√x × 9⁄x = 2√9 = 6。等號在 x = 9⁄x 時成立，也就是 x² = 9、x = 3（負的不合條件）。最小值 6，發生在 x = 3。積是定值 9，所以和有最小值——這是算幾不等式的另一個方向。
9設 a、b 為有理數且 (3 + √2)² = a + b√2，求 a 與 b：
數字符號
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) a = 11 (2) b = 6
(3 + √2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2。因為 √2 是無理數，一個數寫成「有理數 + 有理數 × √2」的方式只有一種，所以直接對應 a = 11、b = 6。這個「係數比對」的技巧，靠的正是無理數沒辦法被有理數湊出來這件事。
好學範例影片
第一章「數」的七支範例影片，依例題順序排列。題目卡住的時候，先自己算一次再打開來對，比直接看解答有用。