排列組合

正確答案　2 ≤ 3

否定一句話是把剩下的所有情況全部收進來，不是把不等號單純反過來。「2 大於 3」不成立的情況包含「2 小於 3」和「2 等於 3」兩種，合起來寫成 2 ≤ 3。這裡漏掉等號是這一章最常見的失分點：a > b 的否定是 a ≤ b，a ≥ b 的否定是 a < b。順帶一提，這句話的內容本身是假的（2 其實小於 3），但敘述的真假和「怎麼寫否定」是兩件事，不要混在一起。

正確答案　充要（條件）

兩個方向都要檢查。往右：如果 x = 3 或 x = −3，平方都是 9，所以 x = ±3 ⇒ x² = 9 成立。往左：如果 x² = 9，開根號得 x = ±3，所以 x² = 9 ⇒ x = ±3 也成立。兩邊都推得過去就是充要條件。對照一下「x = 3」只是「x² = 9」的充分條件，因為反過來 x 還可能是 −3。

正確答案　(1)(3)

（1）正確，A 用大括號把 1、2、3 裝起來，它是一個集合。（2）錯誤，元素是 1、2、3 這些個體，A 是裝它們的容器。（3）正確，1 確實在 A 裡面，元素和集合之間用 ∈。（4）錯誤，和（3）互相矛盾，兩個不可能同時成立。（5）錯誤，A 裡面只有 1、2、3，沒有 4，應該寫 4 ∉ A。記住 ∈ 只能用在「元素對集合」，集合對集合要用 ⊆。

正確答案　{1, 3, 5, 7, 9}

題目給的是「描述法」——用一句條件描述誰有資格進來；列舉法則是把成員一個一個寫出來。條件有兩個要同時滿足：介於 1 到 10 之間（含兩端），而且是奇數。從 1 開始每次加 2：1、3、5、7、9，下一個 11 已經超過 10。所以答案是 {1, 3, 5, 7, 9}，共 5 個元素。注意 1 和 10 都用了 ≤，所以 1 要算進去。

正確答案　5

n(A) 是「集合 A 的元素個數」，數一數就好：a、b、c、d、e 共 5 個。這個符號在取捨原理裡會一直用到，例如 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)。要注意集合裡的元素不重複計算，如果題目寫 {a, a, b}，實際上只有 a、b 兩個元素，n = 2。

正確答案　φ、{a}、{b}、{a, b}

子集要從「取 0 個」開始算起，不要漏掉頭尾兩個。取 0 個元素得到空集合 φ；取 1 個得到 {a} 和 {b}；取 2 個得到 {a, b}，也就是集合自己。合計 4 個。一般規律是：有 n 個元素的集合共有 2ⁿ 個子集，因為每個元素都面臨「進來或不進來」兩種選擇，這正是重複排列 2ⁿ。這裡 2² = 4，對得上。

正確答案　A ∪ B = {1, 2, 3, 5}；A ∩ B = {1, 3}

聯集是「兩邊合起來」：把 A 的 1、2、3 和 B 的 1、3、5 倒在一起，重複的只寫一次，得到 {1, 2, 3, 5}，共 4 個。交集是「兩邊都有的」：1 兩邊都有、3 兩邊都有，2 只在 A、5 只在 B，所以是 {1, 3}，共 2 個。驗算取捨原理：n(A ∪ B) = 3 + 3 − 2 = 4，和數出來的一樣。

正確答案　A − B = {2, 4}；B − A = {7, 9}；A' = {6, 7, 8, 9}

差集 A − B 是「在 A 裡但不在 B 裡」：A 的 1、3、5 都被 B 拿走，剩下 {2, 4}。B − A 方向相反：B 的 1、3、5 都在 A 裡，剩下 {7, 9}。注意差集不能交換，A − B ≠ B − A。補集 A' 是「宇集裡不屬於 A 的」：U 有 1 到 9，扣掉 A 的 1 到 5，剩下 {6, 7, 8, 9}。算補集一定要先看清楚宇集是誰。

正確答案　{x | x ≤ 2}

宇集是全體實數，A 是「大於 2 的實數」。補集就是「不大於 2 的實數」，也就是包含 2 本身在內、往左邊的全部：{x | x ≤ 2}。關鍵在等號跑到哪一邊：原本 A 用的是嚴格大於，2 沒有被 A 收走，所以補集要把 2 收進來，寫成 ≤。如果原本是 x ≥ 2，補集就會是 x < 2。

正確答案　9

這是乘法原理：第一個人出拳「而且」第二個人也要出拳，兩個步驟都要完成。第一個人有剪刀、石頭、布 3 種選擇，第二個人同樣有 3 種，而且不受第一個人影響（兩人可以出一樣的），所以 3 × 3 = 9 種。也可以用樹狀圖窮舉：第一層分 3 枝，每一枝再分 3 枝，末端 9 枝。這其實就是重複排列 3² = 9。

正確答案　10

兩顆骰子總共有 6 × 6 = 36 種結果。點數和小於 6，意思是和等於 2、3、4、5 這四種情況，分別數出來再用加法原理相加。和 = 2 只有 (1,1) 共 1 種；和 = 3 有 (1,2)、(2,1) 共 2 種；和 = 4 有 (1,3)、(2,2)、(3,1) 共 3 種；和 = 5 有 (1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1) 共 4 種。合計 1 + 2 + 3 + 4 = 10 種。注意甲乙是不同的人，(1,2) 和 (2,1) 要分開算。

正確答案　24（若允許數字重複使用則為 64）

題目沒有寫「可重複使用」，所以照排列的慣例，四個數字裡挑三個排出來、用過就不再用：第一位有 4 種選擇，第二位剩 3 種，第三位剩 2 種，4 × 3 × 2 = P₃⁴ = 24 種。這一題和後面第 19 題正好是一組對照——第 19 題特別註明「可重複使用」，答案才變成重複排列 10³。如果這一題也允許重複，就是 4³ = 64 種；因為原文題目在這裡沒有註明，兩種讀法都算對，但你要清楚自己用的是哪一種。

正確答案　25

「至少一科及格」就是聯集，直接套取捨原理：n(數 ∪ 英) = n(數) + n(英) − n(數 ∩ 英) = 20 + 15 − 10 = 25 位。為什麼要減 10？因為那 10 位在「數學及格 20 位」裡被算過一次，在「英文及格 15 位」裡又被算了一次，重複了一次就要扣掉一次。順帶算一下：兩科都不及格的有 40 − 25 = 15 位，這一步用的是補集。全班 40 這個數字在第一問完全用不到，是用來干擾的。

正確答案　24

4 個人全部都要排進 4 個位置，順序算，而且一個人不能同時站兩個位置。第一個位置有 4 種選擇，選掉一個之後第二個位置剩 3 種，接著 2 種、1 種，4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24 種。這種「全部拿去排」的情況就是 Pₙⁿ = n!。

正確答案　20

括號裡的「排成一列」是關鍵，代表兩個座位有前後之分、順序要算，所以是排列不是組合。第一個座位從 5 人中挑，有 5 種；第二個座位剩 4 人可挑，有 4 種，5 × 4 = P₂⁵ = 20 種。對照一下：如果只是「從 5 人選 2 人組一隊」，順序不算，就是 C₂⁵ = 20 ∕ 2! = 10 種，剛好差一個 2!。

正確答案　P₃⁵ = 60；P₂⁷ = 42；P₆⁶ = 720

Pᵣⁿ 的讀法是「從上面的 n 個裡取下面的 r 個來排」，算法是從 n 開始往下連乘，總共乘 r 個數字。P₃⁵ = 5 × 4 × 3 = 60（從 5 開始乘 3 個）。P₂⁷ = 7 × 6 = 42（從 7 開始乘 2 個）。P₆⁶ = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! = 720（全部拿去排）。最常見的錯誤是乘錯個數，記住「下標是幾就乘幾個」。

正確答案　15

共 6 個字母，如果全都不一樣有 6! = 720 種。但兩個 a 長得一模一樣，它們互換位置排出來的結果沒有差別，所以每種排法被重複算了 2! 次；四個 b 同理被重複算了 4! 次。除掉重複：6! ∕ (2! × 4!) = 720 ∕ (2 × 24) = 720 ∕ 48 = 15 種。另一個想法更快：6 個位置裡挑 2 個放 a，剩下自動放 b，就是 C₂⁶ = 15。

正確答案　56

走捷徑就是不繞路，所以每一步不是向右就是向上，總共固定要走 5 + 3 = 8 步。一條路線等於一串由 5 個「右」和 3 個「上」組成的序列，例如「右右上右上右右上」。右和右之間、上和上之間不分先後，所以是有相同物的排列：8! ∕ (5! × 3!) = 40320 ∕ (120 × 6) = 56 條。也可以想成「8 步裡挑 3 步往上」，即 C₃⁸ = 56。上面第 4 節的棋盤實驗室把每個路口的走法數都標出來了，可以對照著看。

正確答案　1000

題目明講「可重複使用」，所以是重複排列：每一格的選擇都不會變少。百位有 10 種、十位有 10 種、個位有 10 種，10 × 10 × 10 = 10³ = 1000 種。這裡是「密碼」不是「三位數」，所以首位可以是 0（像 007 也算一組合法密碼）。如果題目改成「作成三位數」，首位就不能是 0，答案會變成 9 × 10 × 10 = 900 個——讀題時要特別留意這個差別。

正確答案　6

題目只說「取 2 個」，沒有說要排順序，所以是組合。C₂⁴ = P₂⁴ ∕ 2! = (4 × 3) ∕ 2 = 6 種。實際列出來驗證：如果物品是 a、b、c、d，取兩個的組合有 ab、ac、ad、bc、bd、cd 共 6 組，其中 ab 和 ba 算同一組。如果順序要算就會變成 P₂⁴ = 12 種。

正確答案　C₂⁸ = 28；C₈⁸ = 1；C₀⁸ = 1；C₇⁸ = 8

C₂⁸ = (8 × 7) ∕ 2! = 56 ∕ 2 = 28。C₈⁸ = 1：8 個全部帶走，只有一種選法。C₀⁸ = 1：一個都不選也算一種選法（正是空集合），這是為什麼 0! = 1 的用處。C₇⁸ = 8：選 7 個帶走等於挑 1 個留下來，所以 C₇⁸ = C₁⁸ = 8。這四小題其實是在練同一件事——Cᵣⁿ = Cₙ₋ᵣⁿ，遇到下標很大時一律先換成小的再算。

正確答案　x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵

係數直接讀帕斯卡三角形的第 5 列：1、5、10、10、5、1，也就是 C₀⁵ 到 C₅⁵。x 的次方從 5 一路降到 0，y 的次方從 0 一路升到 5，每一項的次方和永遠是 5。所以 (x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵，共 6 項（次方是 5 就有 6 項）。驗算：把係數全部加起來 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵，對得上。

正確答案　84

老實算：C₂⁸ = 28、C₃⁸ = (8 × 7 × 6) ∕ 3! = 336 ∕ 6 = 56，相加得 28 + 56 = 84。但更值得記住的是帕斯卡的加法性質 Cᵣ₋₁ⁿ + Cᵣⁿ = Cᵣⁿ⁺¹：這裡 C₂⁸ + C₃⁸ = C₃⁹ = (9 × 8 × 7) ∕ 6 = 84，不用分開算兩個組合數。這條性質就是帕斯卡三角形「每個數字等於左上加右上」的來源，上面第 6 節的三角形可以直接看到。

正確答案　共 100 個；其中偶數 52 個

第一問的陷阱是 0 不能放首位。先處理限制最多的位置：百位不能是 0，有 5 種選擇；十位可以用 0，但要扣掉百位用掉的那個，剩 5 種；個位再扣掉兩個，剩 4 種。5 × 5 × 4 = 100 個。第二問要是偶數，個位必須是 0、2、4，再分兩類討論：個位是 0 時，百位有 5 種、十位有 4 種，共 20 個；個位是 2 或 4（2 種）時，百位不能是 0 也不能和個位重複，剩 4 種，十位剩 4 種，共 2 × 4 × 4 = 32 個。相加得 20 + 32 = 52 個。分類討論時務必確認兩類不會重疊，才能直接相加。

正確答案　相鄰 240 種；不相鄰 480 種

相鄰用「綁在一起」：把甲乙看成一個大人偶，那就變成 5 個東西排成一列，有 5! = 120 種；再考慮這個人偶內部甲乙誰前誰後，有 2! = 2 種，所以 120 × 2 = 240 種。不相鄰不要正面硬拆，直接走補集：6 人的全部排法是 6! = 720 種，扣掉相鄰的 240 種，得 720 − 240 = 480 種。「相鄰就綁起來、不相鄰就用扣的」是這一型的標準流程。

正確答案　60

6 個字母裡有 3 個 a、2 個 b、1 個 c。若全部視為相異則有 6! = 720 種，但三個 a 互換沒有差別（重複 3! 次）、兩個 b 互換也沒有差別（重複 2! 次），所以 6! ∕ (3! × 2! × 1!) = 720 ∕ (6 × 2 × 1) = 720 ∕ 12 = 60 種。分母是「每一類的數量各自取階乘再相乘」，只有 1 個的那一類取 1! = 1，寫不寫都一樣。

正確答案　共 35 條；經過 P 點 18 條

第一問：總共走 4 + 3 = 7 步，其中挑 3 步往上，C₃⁷ = (7 × 6 × 5) ∕ 6 = 35 條。第二問假設 P 是「從 A 往右 2 步、往上 1 步」的那個路口。必經某點的題目要拆成兩段相乘：A 到 P 是往右 2、往上 1，共 C₁³ = 3 條；P 到 B 還要往右 2、往上 2，共 C₂⁴ = 6 條。兩段是連續步驟，用乘法原理：3 × 6 = 18 條。反過來「不經過 P」就用 35 − 18 = 17 條。

正確答案　共 84 種；至少 1 位女生 74 種

第一問不分男女，就是從 9 人中選 3 人、順序不算：C₃⁹ = (9 × 8 × 7) ∕ 6 = 84 種。第二問看到「至少」先想補集：「至少 1 位女生」的反面是「一位女生都沒有」，也就是 3 人全從 5 位男生中選，有 C₃⁵ = 10 種。所以答案是 84 − 10 = 74 種。如果正面硬算要拆成 1 女 2 男、2 女 1 男、3 女三類：C₁⁴C₂⁵ + C₂⁴C₁⁵ + C₃⁴ = 40 + 30 + 4 = 74，答案一樣但慢得多，而且容易漏掉一類。

正確答案　共 5040 種；兩人相鄰 1440 種

第一問直接套環狀排列：(8 − 1)! = 7! = 5040 種。理由是排成一列有 8! = 40320 種，但整桌轉 8 個位置看起來都一樣，每種坐法被重複算了 8 次，所以除以 8。第二問一樣先綁再算：把指定的兩人綁成一個單位，圓桌上就變成 7 個單位作環狀排列，有 (7 − 1)! = 6! = 720 種；再乘上這兩人內部的左右順序 2! = 2，得 720 × 2 = 1440 種。「先綁再套環狀公式」的順序不能顛倒。

正確答案　24；720

第一題用二項式定理的通項：C₂⁴ x² (2y)² = 6 × x² × 4y² = 24x²y²，係數是 24。最常見的錯誤是忘記把 2y 的 2 一起平方。第二題把 (2x − 3)⁵ 看成 (2x + (−3))⁵，通項是 Cₖ⁵ (2x)⁵⁻ᵏ (−3)ᵏ。要湊出 x³ 需要 5 − k = 3，也就是 k = 2：C₂⁵ × (2)³ × (−3)² = 10 × 8 × 9 = 720。負號被偶次方吃掉了，所以係數是正的；如果 k 是奇數就要記得帶負號。

正確答案　64；0

兩題都是把二項式定理代特定值。第一題在 (x + y)⁶ 中取 x = 1、y = 1：左邊是 2⁶ = 64，右邊正好是全部係數相加，所以答案是 64。第二題取 x = 1、y = −1：左邊是 0⁶ = 0，右邊變成正負交錯的組合數和，所以答案是 0。直接驗算也可以：這一列的組合數是 1、6、15、20、15、6、1，相加得 64；交錯相減得 1 − 6 + 15 − 20 + 15 − 6 + 1 = 0。第二題也告訴我們奇數項和偶數項的組合數各佔一半，都是 2⁵ = 32。

正確答案　至少一個 35 人；都沒參加 10 人

第一問是聯集，套取捨原理：25 + 18 − 8 = 35 人。那 8 個人在兩邊各被算了一次，重複一次就扣一次。第二問是聯集的補集：全班 45 人扣掉至少參加一個的 35 人，得 45 − 35 = 10 人。用文氏圖檢查一下四塊區域：只參加籃球 25 − 8 = 17、兩個都參加 8、只參加吉他 18 − 8 = 10、都沒參加 10，四塊加起來 17 + 8 + 10 + 10 = 45，和全班人數一致，答案正確。

正確答案　共 625 個；相異的 120 個

第一問可重複，是重複排列：每一位都有 5 種選擇，而且不會變少（這裡沒有 0，所以首位也沒有限制），5 × 5 × 5 × 5 = 5⁴ = 625 個。第二問要求四個數字都不一樣，就變回直線排列：從 5 個裡取 4 個來排，P₄⁵ = 5 × 4 × 3 × 2 = 120 個。這一題把整章最重要的分岔擺在一起看——「可不可以重複」決定你是一直乘同一個數，還是一路遞減連乘。