課程地圖 ／ 第十二章
空間中的平面與直線
上一章把空間裡的位置變成三個數，把角度、面積、體積變成內積與外積。這一章換個對象：把平面和直線本身寫成方程式。整章其實只靠兩個向量在撐——平面記法向量，直線記方向向量。之後不管問夾角、問距離、問兩者相交還是歪斜，全部都是這兩個向量在做內積或外積。下面每一張立體圖都可以拉、可以按。
這一章包含的單元 第四冊 A 單元五空間中的平面、單元六空間中的直線。依序是平面方程式、兩平面的夾角、點到平面的距離公式、直線方程式、直線與平面的關係、直線與直線的關係，最後收在與直線相關的三種距離：點到直線、兩平行直線、兩歪斜線。章節架構依老王看世界〈108課綱學測數學總複習第十二章 空間中的平面與直線〉整理。原文目前只放上目錄與兩個習題標題，作者註明內容後續更新，所以下面的觀念說明、互動實驗與習題是依照該目錄的架構另外編寫的。
平面方程式：三個係數就是法向量
一個平面要怎麼定下來？一個點，加上一個垂直方向就夠了。那個垂直於平面的向量叫法向量，通常寫成 n。決定了 n 的方向，平面的「斜度」就固定了；再指定平面通過哪一個點，位置也就跟著固定。
從點法式到一般式
設平面 E 通過點 P(x₀, y₀, z₀)，法向量 n = (a, b, c)。平面上任取一點 Q(x, y, z)，則 PQ 一定躺在平面上，所以它和法向量垂直，內積為 0：
a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0
把括號拆開、常數項全部併到右邊，就得到一般式：
ax + by + cz = d ，其中 d = ax₀ + by₀ + cz₀
整章最好用的一句話 一般式裡 x、y、z 的三個係數，直接就是法向量。看到 2x − y + 3z = 7，不必計算，法向量就是 (2, −1, 3)。這一章後面所有的夾角、距離、平行垂直判定，第一步都是把係數抄下來當法向量。
三種常見的給法
- 給一點和法向量 直接套點法式。這是最省事的情況。
- 給不共線的三點 先用兩個方向向量做外積得到法向量，再套點法式。例如過 A、B、C 三點，取 n = AB × AC。上一章的外積在這裡第一次派上正式用場。
- 給三個軸截距 平面交 x、y、z 軸於 (p, 0, 0)、(0, q, 0)、(0, 0, r)，且三個都不為 0 時，可以寫成截距式：x∕p + y∕q + z∕r = 1。
紫色箭頭永遠垂直於平面。三個係數就是它的坐標。
常見的判斷 方程式裡少了哪個變數，平面就平行於哪個軸。例如 2x + 3y = 6 沒有 z，法向量 (2, 3, 0) 垂直於 z 軸，所以平面平行於 z 軸，看起來像一片豎起來的牆。同理 z = 5 的法向量是 (0, 0, 1)，那是一片平行於 xy 平面、高度 5 的天花板。
兩平面的夾角：問平面，答案在法向量身上
兩個相交的平面會夾出兩組角，一組銳角一組鈍角，兩者互補。習慣上取不超過 90° 的那一個當作兩平面的夾角。而這個角，剛好等於兩條法向量的夾角（或它的補角）——所以完全不必去想平面長什麼樣子，把兩組係數抄下來做內積就好。
cos θ = |n₁ · n₂| ∕ (|n₁| |n₂|) ，0° ≤ θ ≤ 90°
分子為什麼要加絕對值 法向量的方向可以任意取正或取負，同一個平面的法向量寫成 (2, −1, 3) 或 (−2, 1, −3) 都對，但兩者算出的內積差一個負號。加上絕對值，等於強迫答案落在銳角那一邊，這樣不論法向量怎麼取，答案都唯一。
平行與垂直：兩個極端情形
| 關係 | 判別條件 | 幾何意義 |
|---|---|---|
| 重合 | a₁ : b₁ : c₁ : d₁ = a₂ : b₂ : c₂ : d₂ | 整條方程式成比例，是同一個平面 |
| 平行（不重合） | a₁ : b₁ : c₁ = a₂ : b₂ : c₂，但 d 的比例不同 | 法向量平行，兩片永不相交 |
| 垂直 | n₁ · n₂ = 0 | 兩法向量互相垂直 |
| 斜交 | 以上皆非 | 交於一直線，夾角用上面的餘弦公式算 |
看係數就好，別看常數 判斷平行只看 a、b、c 三個係數；d 只決定平面「推到多遠」，不影響斜度。所以 2x + 3y + 6z = 12 與 4x + 6y + 12z = 5 是平行的兩片，因為 (2, 3, 6) 與 (4, 6, 12) 同方向，但 12 : 5 對不上 2 : 4，所以不重合。
兩平面斜交，夾角 45°。
點到平面的距離：把差距投影到法向量上
「距離」永遠是垂直的那一段。要量點 Q 到平面 E 有多遠，就從平面上隨便找一個點 P，看 PQ 在法向量方向上投影了多長——因為法向量的方向就是垂直方向，那段正射影長就是距離。
d(Q, E) = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| ∕ √a² + b² + c²
把 Q 的坐標代進平面方程式的左邊、減掉右邊的常數，取絕對值，再除以法向量的長度。分子是「差多少」，分母是「換算成真實長度的比例尺」。
和平面上的公式是同一條 平面上「點到直線」是 |ax₀ + by₀ + c| ∕ √a² + b²。空間版只是多了一項 cz₀，分母多了一個 c²。直線與圓那一章記過的公式，在這裡直接升級就能用，不必重記。
兩個延伸用法
- 兩平行平面的距離 先把兩式的係數化到完全一樣，再取常數項相減：d = |d₁ − d₂| ∕ √a² + b² + c²。
沒有先把係數化一致就直接相減，是這裡最常見的錯。x + y + z = 1 與 2x + 2y + 2z = 10 要先把第二式除以 2 變成 x + y + z = 5，距離才是 |1 − 5| ∕ √3。
- 求垂足與對稱點 從 Q 沿著法向量方向走，寫成 Q + t n，代入平面方程式解出 t，就得到垂足。
把 t 加倍走兩倍，得到的是 Q 對這個平面的鏡射點。這一招在求光線反射、求最短路徑的題目裡反覆出現。
紅色虛線就是那段垂直距離，它一定和紫色法向量同方向。
直線方程式：一個點加一個方向
平面靠法向量，直線靠方向向量。給定直線上一點 P(x₀, y₀, z₀) 與方向向量 v = (l, m, n)，直線上的每一點都是「從 P 出發，沿著 v 走 t 倍」。
(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t(l, m, n) ，t ∈ ℝ
拆成三條就是參數式：x = x₀ + lt，y = y₀ + mt，z = z₀ + nt。三條式子各自解出 t 再串起來，就是對稱比例式：
(x − x₀)∕l = (y − y₀)∕m = (z − z₀)∕n
分母是 0 的時候不能硬寫 對稱比例式要求 l、m、n 都不為 0。如果方向向量是 (2, 0, 3)，y 那一項不能寫成分母 0，正確寫法是把它拉出來當條件：(x − x₀)∕2 = (z − z₀)∕3，且 y = y₀。這種「有一個分量是 0」的直線，考題很愛拿來設陷阱。
兩平面的交線：外積再一次登場
兩個不平行的平面會交出一條直線。這條交線同時躺在兩個平面上，所以它同時垂直於兩條法向量——而「同時垂直於兩個向量」正是外積的定義。
交線的方向向量 v = n₁ × n₂
方向拿到之後，再隨便解出交線上的一個點（例如令 z = 0，把兩式當成 x、y 的二元一次聯立解掉），點加方向就寫得出參數式了。
t 是 0 就停在 P；t 每加 1，就沿著方向向量整個走一步。
直線與平面的關係：先算一個內積就分完類
直線有方向向量 v，平面有法向量 n。這兩個向量做一次內積，三種關係立刻分完：n · v ≠ 0 就交於一點；等於 0 就代表直線和平面「不相斜」，這時再看直線上任一點在不在平面上，決定是平行還是整條躺在平面上。
| 關係 | 判別條件 | 解的個數 |
|---|---|---|
| 交於一點 | n · v ≠ 0 | 恰一組解 |
| 平行（不相交） | n · v = 0，且 L 上的點不在 E 上 | 無解 |
| 直線在平面上 | n · v = 0，且 L 上的點在 E 上 | 無限多組解 |
為什麼內積是 0 反而不相交 n 是垂直於平面的方向。n · v = 0 表示直線的方向垂直於法向量，也就是方向完全躺平在平面的方向裡，沒有任何「往平面裡鑽」的分量。既然一路都不往下鑽，要嘛從頭到尾浮在上面（平行），要嘛從頭到尾貼著（在平面上）。
直線與平面的夾角
直線與平面的夾角，定義成該直線與它在平面上的投影所夾的角，範圍是 0° 到 90°。它和「v 與 n 的夾角」互為餘角，所以公式裡是 sin 而不是 cos：
sin θ = |n · v| ∕ (|n| |v|) ，0° ≤ θ ≤ 90°
這裡最容易記反 兩平面的夾角用 cos（法向量對法向量，同類相比）；直線與平面的夾角用 sin（方向向量對法向量，差了一個 90°）。記法：算出來的東西如果是「一條線和它自己的影子」，就用 sin。
內積不是 0，直線一定會穿過平面，恰好交於一點。
直線與直線的關係：多出來的第四種叫歪斜
平面上兩條直線只有平行、相交、重合三種。到了空間多出第四種：既不平行也不相交，這叫歪斜。判斷流程固定三步，照著走就不會亂。
- 第一步：兩個方向向量平行嗎
v₁ ∥ v₂（也就是外積 v₁ × v₂ = 0）就往下判斷重合或平行；不平行就跳到第二步。
- 方向平行時：取 L₁ 上一點檢查在不在 L₂ 上
在 → 重合；不在 → 平行。
- 第二步：方向不平行時，看共不共面
取 L₁ 上一點 P₁、L₂ 上一點 P₂，算三階行列式 det[P₁P₂, v₁, v₂]。等於 0 表示三個向量共面 → 相交於一點；不等於 0 表示不共面 → 歪斜。
行列式在這裡代表什麼 det[P₁P₂, v₁, v₂] 的絕對值，是這三個向量張出的平行六面體體積。體積是 0 就代表被壓扁成一片，三個向量共面，兩條線就在同一個平面裡，非平行即相交。體積不是 0，代表它們撐得起一個真正的立體，兩條線錯開在不同高度——這就是歪斜。
兩直線的夾角：cos θ = |v₁ · v₂| ∕ (|v₁| |v₂|)
歪斜線雖然不相交，一樣可以談夾角——把其中一條平移到與另一條相交，夾出來的角就是答案，而平移不改變方向向量，所以公式和相交的情形完全一樣。
方向不平行、行列式又不是 0，兩條線錯開在不同高度，永遠碰不到。
與直線相關的三種距離
點到平面用內積，因為平面身上帶著法向量。換成直線就得改用外積——直線身上只有方向向量，沒有現成的垂直方向，得靠外積把垂直方向生出來。三種距離，三條公式，但骨架是同一個。
（一）點到直線的距離
直線 L 過點 A、方向向量 v，求線外一點 P 到它的距離。把 AP 與 v 張成一個平行四邊形：面積 = 底 × 高，底就是 |v|，高就是我們要的距離。而平行四邊形的面積剛好是外積的長度。
d(P, L) = |AP × v| ∕ |v|
（二）兩平行直線的距離
兩條平行線之間，處處等寬。所以在其中一條上隨便取一個點，問題就退化成上面的「點到直線」。取哪一點都行，答案一樣——這是平行才有的特權。
d(L₁, L₂) = |A₁A₂ × v| ∕ |v| （v 是共同的方向向量）
（三）兩歪斜線的距離
兩條歪斜線之間也有一段最短的公垂線段。公垂線的方向必須同時垂直於兩個方向向量，所以方向就是 v₁ × v₂。把連接兩線的任一條向量 A₁A₂ 投影到這個公垂方向上，投影長就是最短距離。
d = |A₁A₂ · (v₁ × v₂)| ∕ |v₁ × v₂|
分子就是上一節那個行列式 A₁A₂ · (v₁ × v₂) 正是 det[A₁A₂, v₁, v₂]，也就是平行六面體的有向體積。所以這條公式在說：距離 = 體積 ÷ 底面積。底面是 v₁ 與 v₂ 張出的平行四邊形，面積 |v₁ × v₂|；體積除以底面積，剩下的就是高。判斷歪斜和求歪斜距離，本來就是同一個算式的兩種讀法——體積是不是 0，和體積除以底面積等於多少。
三條公式的共同骨架 全部都是「某個叉積或內積」除以「某個長度」。分子負責算出面積或體積，分母負責把它換算回長度。想不起來公式的時候，先問自己「我現在手上有什麼面積或體積、要除掉哪一個底」，通常就推得回來。
紅色虛線永遠垂直於直線，那才是真正的最短距離。
記憶軸：卡住的時候先想這四句
這一章公式看起來很多，真正要記的只有四個判斷。按一顆看它在講什麼。
按上面任一顆，這裡會說明那一句在講什麼。
習題：基本與進階
下面 24 題把這一章的平面與直線走過一遍。可以直接在格子裡填答案，用底下的符號鍵盤點按也可以；分數請用斜線寫成 8/3 這樣，寫成小數 2.667 一樣算對，根號用 √ 這個鍵，角度只要填數字。想寫在紙上就用「拍照或上傳 PDF 作答」把手寫過程帶進來，照片和檔案只留在你自己的裝置上，不會上傳到任何地方。按「檢查答案」之後，對的會標正確，錯的會直接把正確答案和解法攤開。
關於題目來源 原文章〈108課綱學測數學總複習第十二章 空間中的平面與直線〉目前只放上目錄，作者註明內容後續更新；習題區同樣只有「題目一」「題目二」兩個標題、還沒有內容。所以下面這 24 題，是依照原文列出的單元架構與編排順序另外設計的：基本題對應點法式與一般式、三點求平面、截距式、兩平面夾角、平行與垂直判定、點到平面的距離、兩平行平面的距離、垂足、直線參數式與對稱比例式、兩平面交線、直線與平面的交點與關係、線面夾角；進階題對應兩直線的三種關係、歪斜線的夾角、點到直線、兩平行直線與兩歪斜線的距離、鏡射點、垂直於平面的直線、含參數的討論，最後收在四面體與綜合題。等原文的內容補上來之後，可以直接替換或接在後面。
向量與點的答案怎麼填 問到法向量、方向向量或交點坐標時，x、y、z 三個分量會分成三格，各填一個數就好，不用打括號和逗號。負號用鍵盤上的 −，或直接打鍵盤的減號都可以；根號寫成 3√3 這樣，或直接填小數也算對。
基本14 題 平面方程式 · 兩平面夾角 · 點到平面 · 直線方程式 · 交線 · 線面關係
1平面 E 通過點 P(1, −2, 3)，法向量 n = (2, 3, −1)。把 E 寫成一般式 2x + 3y − z = d。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 d = −7 ； k = −2 ； |n| = √14
點法式是 2(x − 1) + 3(y + 2) − (z − 3) = 0，拆開併項就是一般式。更快的做法是直接用 d = n · OP = 2(1) + 3(−2) + (−1)(3) = 2 − 6 − 3 = −7。
把 Q(0, k, 1) 代進 2(0) + 3k − 1 = −7，得 3k = −6，k = −2。
法向量長度 |n| = √2² + 3² + (−1)² = √14，這個數之後算距離時會當分母，先算好不吃虧。
一般式的常數項 d 不是隨便來的，它就是「法向量和平面上任一點的內積」。所以只要換一個平面上的點來算，d 都會是同一個數 —— 這正是平面方程式成立的意思。
2平面 E 通過 A(1, 1, 1)、B(2, 3, 1)、C(0, 1, 2) 三點。取 n = AB × AC 當法向量，並把 E 寫成 ax + by + cz = d。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 n = (2, −1, 2)，E：2x − y + 2z = 3
先做出兩個躺在平面上的方向向量：AB = (1, 2, 0)，AC = (−1, 0, 1)。
外積 AB × AC = (2·1 − 0·0, 0·(−1) − 1·1, 1·0 − 2·(−1)) = (2, −1, 2)。驗算一下：它和 AB、AC 的內積都是 0，方向確實垂直於整片平面。
再用 A 求常數：d = 2(1) − 1(1) + 2(1) = 3。代 B 得 4 − 3 + 2 = 3、代 C 得 0 − 1 + 4 = 3，三點都合，答案沒錯。
「三點決定一個平面」在計算上就是「兩個方向向量外積出一個法向量」。外積在上一章只是求面積的工具，到了這一章升格成造平面的主力 —— 凡是題目給你三個點、或給你兩條相交直線，第一步都是它。
3平面 E：3x + 4y + 6z = 12。求它在三個坐標軸上的截距，以及 E 與三個坐標平面圍出的四面體體積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 截距 4、3、2；截距式 x∕4 + y∕3 + z∕2 = 1；體積 = 4
求 x 截距就令 y = z = 0：3x = 12，x = 4。同樣得到 y = 3、z = 2。
更快的走法是把等號右邊化成 1：兩邊同除 12，得 x∕4 + y∕3 + z∕2 = 1，三個分母就是三個截距，一眼看完。
三個截距點與原點圍出的四面體，三條邊互相垂直，體積 = (1∕6) × 4 × 3 × 2 = 4。
截距式的好處是「把方程式讀成圖形」。看到 x∕4 + y∕3 + z∕2 = 1，你不必畫圖也知道那片平面切在哪三個點上。反過來，題目給你三個軸上的交點，也可以跳過外積直接寫出截距式。
4求兩平面 E₁：x + y = 2 與 E₂：y + z = 3 的夾角 θ（取 0° ≤ θ ≤ 90°）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 n₁ · n₂ = 1 ； cos θ = 1∕2 ； θ = 60°
係數就是法向量：n₁ = (1, 1, 0)，n₂ = (0, 1, 1)。缺哪個變數係數就補 0，這一步千萬別漏。
內積 = 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1；兩個長度都是 √2。所以 cos θ = |1| ∕ (√2 · √2) = 1∕2，θ = 60°。
問的是平面，算的卻是法向量 —— 這一章一直在做同一件事：把「面」的問題換成「向量」的問題。分子加絕對值是為了把答案固定在銳角，這樣法向量取正取負都不影響結果。
5已知 E₁：2x − 3y + 6z = 7、E₂：4x − 6y + 12z = 1、E₃：3x + 2y = 5、E₄：6x − 9y + 18z = 21。判斷 E₁ 和它們各自的關係（填平行、垂直或重合）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 平行 ； 垂直 ； 重合
n₁ = (2, −3, 6)。n₂ = (4, −6, 12) = 2n₁，法向量同方向，但常數項 7 × 2 = 14 ≠ 1，所以是平行而不重合。
n₃ = (3, 2, 0)，內積 = 6 − 6 + 0 = 0，兩法向量垂直，所以兩平面垂直。
E₄ 整條式子剛好是 E₁ 的 3 倍（含常數 21 = 7 × 3），所以是同一個平面，也就是重合。
判平行只看 a、b、c，判重合要連 d 一起看。d 只決定平面被推到多遠，不改變斜度 —— 想清楚這件事，平行和重合就不會再混。
6求點 P(7, 3, 1) 到平面 E：x + 2y − 2z = 5 的距離。先分別寫出公式的分子與分母。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 分子 6 ； 分母 3 ； 距離 = 2
分子是「把點代進左邊、再減掉右邊常數」取絕對值：|7 + 2(3) − 2(1) − 5| = |7 + 6 − 2 − 5| = 6。
分母是法向量的長度：√1² + 2² + (−2)² = √9 = 3。
所以 d(P, E) = 6 ∕ 3 = 2。
分子在說「這個點離開平面方程式多少」，但那是方程式的刻度，不是真實長度；除以 |n| 就是把刻度換算回公分。所有「點到直線」「點到平面」的公式都是同一個結構：偏差量 ÷ 比例尺。
7求兩平行平面 E₁：2x − y + 2z = 5 與 E₂：4x − 2y + 4z = −8 的距離。先把 E₂ 化成與 E₁ 相同的係數。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 常數項 = −4 ； 距離 = 3
E₂ 兩邊同除以 2，變成 2x − y + 2z = −4。這一步是整題的關鍵：係數沒化到一模一樣就相減，算出來的數字完全沒有意義。
接著套公式：d = |5 − (−4)| ∕ √2² + (−1)² + 2² = 9 ∕ 3 = 3。
不放心的話可以換個做法驗算：在 E₁ 上隨便取一點，例如 (0, −5, 0)，再用點到平面公式算它到 E₂ 的距離，答案一樣是 3。
兩平行平面的距離，本質上還是「點到平面」—— 因為兩片處處等寬，在其中一片上取哪個點都無所謂。這種「把新問題退化成舊問題」的手法，等一下算兩平行直線的距離時會再用一次。
8求點 Q(3, 1, 5) 在平面 E：2x − y + 2z = 6 上的垂足 H，以及 QH 的長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 H(1, 2, 3)，|QH| = 3
垂足一定落在「從 Q 沿法向量走」的那條線上，所以設 H = Q + tn = (3 + 2t, 1 − t, 5 + 2t)。
代進平面：2(3 + 2t) − (1 − t) + 2(5 + 2t) = 15 + 9t = 6，得 t = −1。回代得 H(1, 2, 3)，驗算 2 − 2 + 6 = 6 ✓。
長度 |QH| = |t| |n| = 1 × 3 = 3，和用距離公式算的 |15 − 6| ∕ 3 = 3 完全一致。
把「垂足」寫成 Q + tn，是這一章最好用的一招：一個未知數 t 就把三維問題壓成一元一次方程式。解出來的 |t| |n| 就是距離，把 t 加倍就是鏡射點 —— 一次設定，三個問題一起解決。
9直線 L 通過 A(2, −1, 4) 與 B(4, 3, 0)。取 AB 約成最簡整數比當方向向量 v，寫出參數式 (x, y, z) = A + tv。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 v = (1, 2, −2)；t = −2 時的點是 (0, −5, 8)，z = 8
AB = (4 − 2, 3 + 1, 0 − 4) = (2, 4, −4)，三個分量都能被 2 整除，約成 (1, 2, −2)。方向向量只管方向，長度可以隨意縮放，約簡之後計算輕鬆很多。
參數式是 x = 2 + t，y = −1 + 2t，z = 4 − 2t。代 t = −2：z = 4 + 4 = 8（整個點是 (0, −5, 8)）。
參數 t 就是「沿著方向向量走幾倍」。t = 0 停在起點 A，t = 1 剛好走到 B（用約簡前的向量時），負的 t 就是往反方向退。把直線想成一個會走路的點，之後求交點、求垂足都只是在問「走到第幾步」。
10直線 L：(x − 3)∕2 = (y + 1)∕(−3) = (z − 5)∕6。求方向向量的長度，以及 L 上 y = 5 的那個點。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |v| = 7 ； 該點是 (−1, 5, −7)
對稱比例式的三個分母就是方向向量：v = (2, −3, 6)，長度 √4 + 9 + 36 = √49 = 7。分子裡被減掉的數 (3, −1, 5) 則是線上的一個點。
把整串比值設成 t：x = 3 + 2t，y = −1 − 3t，z = 5 + 6t。由 y = 5 得 −1 − 3t = 5，t = −2。
回代：x = 3 − 4 = −1，z = 5 − 12 = −7。
對稱比例式和參數式是同一條直線的兩種寫法，中間的橋就是「把比值命名為 t」。要注意分母不能是 0：若方向向量是 (2, 0, 3)，y 那一項要單獨拉出來寫成 y = y₀，這是考題最愛設的陷阱。
11兩平面 E₁：x + y + z = 6 與 E₂：x − y = 0 交於直線 L。取 v = n₁ × n₂ 當方向向量，並求 L 上 z = 0 的點。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 v = (1, 1, −2)；該點是 (3, 3, 0)
n₁ = (1, 1, 1)，n₂ = (1, −1, 0)。交線同時躺在兩片平面上，所以它同時垂直於兩條法向量 —— 這正是外積的工作。
n₁ × n₂ = (1·0 − 1·(−1), 1·1 − 1·0, 1·(−1) − 1·1) = (1, 1, −2)。驗算：和 n₁ 內積 1 + 1 − 2 = 0，和 n₂ 內積 1 − 1 + 0 = 0，兩邊都垂直。
再找線上一點：令 z = 0，兩式變成 x + y = 6 與 x = y，解得 x = y = 3，點是 (3, 3, 0)。
「一個點 + 一個方向」就寫得出直線，所以求交線永遠是兩件事：外積拿方向，隨便令一個變數為 0 解聯立拿點。要是令 z = 0 解不出來（表示交線平行於 xy 平面且不在 z = 0 上），換令 x = 0 或 y = 0 就好。
12求直線 L：(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(2, −1, 1) 與平面 E：x + y + z = 12 的交點。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 t = 3，交點 (7, −1, 6)
先確認會不會相交：n · v = (1, 1, 1) · (2, −1, 1) = 2 − 1 + 1 = 2 ≠ 0，所以恰交於一點。
把參數式整包代進平面：(1 + 2t) + (2 − t) + (3 + t) = 6 + 2t = 12，得 t = 3。
回代得交點 (1 + 6, 2 − 3, 3 + 3) = (7, −1, 6)，驗算 7 − 1 + 6 = 12 ✓。
三個未知數的問題，用參數式一代就變成一個未知數 —— 這就是參數式最值錢的地方。t 有唯一解就是交一點，t 消失後式子矛盾（例如 6 = 12）就是平行，變成恆等式（12 = 12）就是整條線躺在平面上。
13平面 E：2x − y + 2z = 6。判斷下列三條直線與 E 的關係（填平行、直線在平面上或交於一點）：L₁ = (1, 0, 1) + t(1, 2, 0)、L₂ = (2, 0, 1) + t(1, 2, 0)、L₃ = (1, 1, 1) + t(1, 1, 1)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 平行 ； 直線在平面上 ； 交於一點
n = (2, −1, 2)。L₁ 與 L₂ 的方向都是 (1, 2, 0)，內積 = 2 − 2 + 0 = 0，兩條都「不往平面裡鑽」，接著只要看點在不在平面上。
L₁ 上的 (1, 0, 1)：2 − 0 + 2 = 4 ≠ 6，不在平面上 → 平行。L₂ 上的 (2, 0, 1)：4 − 0 + 2 = 6 ✓，在平面上 → 整條線都在平面上。
L₃ 的方向 (1, 1, 1)：內積 = 2 − 1 + 2 = 3 ≠ 0，所以交於一點。
兩條方向相同的直線，可以一條平行、一條躺在面上，差別只在「起點的高度」。所以判斷線面關係一定是兩步：先看內積分出「鑽不鑽」，再拿一個點分出「浮著還是貼著」。只做第一步就下結論，是最常見的失分點。
14求直線 L：(x, y, z) = (2, 1, 0) + t(1, 0, 1) 與平面 E：x + y = 4 的夾角 θ。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 n · v = 1 ； sin θ = 1∕2 ； θ = 30°
n = (1, 1, 0)（z 的係數是 0 別忘了補），v = (1, 0, 1)。內積 = 1 + 0 + 0 = 1，兩個長度都是 √2。
線面夾角用 sin：sin θ = |1| ∕ (√2 · √2) = 1∕2，所以 θ = 30°。
順帶一提，v 與 n 的夾角是 60°，和 30° 剛好互餘 —— 這就是公式裡用 sin 不用 cos 的原因。
面對面（兩平面）用 cos，線對面用 sin。理由很單純：直線的夾角是對著「它在平面上的影子」量的，而法向量比影子多轉了 90°。記不住公式時，先問自己「我算的角，和真正要的角差不差 90°」。
進階10 題 兩直線關係 · 歪斜線夾角 · 三種距離 · 鏡射點 · 參數討論 · 四面體
1已知 L₁ = (1, 0, 2) + t(1, 2, −1)、L₂ = (0, 3, 1) + s(2, 1, 1)、L₃ = (0, 1, 0) + r(2, 4, −2)。求 |det[A₁A₂, v₁, v₂]| 並判斷 L₁ 分別和 L₂、L₃ 的關係。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |det| = 9 ； L₁ 與 L₂ 歪斜 ； L₁ 與 L₃ 平行
先看方向：v₁ = (1, 2, −1) 與 v₂ = (2, 1, 1) 不成比例，所以不平行，得往下判斷共不共面。
A₁A₂ = (−1, 3, −1)，而 v₁ × v₂ = (2·1 − (−1)·1, (−1)·2 − 1·1, 1·1 − 2·2) = (3, −3, −3)。行列式 = (−1)(3) + 3(−3) + (−1)(−3) = −9，絕對值 9 ≠ 0，三向量撐得起一個真正的立體 → 歪斜。
L₃ 的方向 (2, 4, −2) = 2v₁，方向平行；再看 L₃ 上的點 (0, 1, 0) 在不在 L₁ 上：要讓 1 + t = 0 得 t = −1，但那時 y = −2 ≠ 1，不在 → 平行而不重合。
判定的順序不能顛倒：先問方向平不平行，平行才去比點；不平行才輪到行列式。行列式的絕對值就是平行六面體體積，是 0 表示被壓扁成一片（共面 → 相交），不是 0 表示兩條線錯開在不同高度（歪斜）。
2承上題的兩條歪斜線 L₁ = (1, 0, 2) + t(1, 2, −1) 與 L₂ = (0, 3, 1) + s(2, 1, 1)，求它們的夾角 θ。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 v₁ · v₂ = 3 ； cos θ = 1∕2 ； θ = 60°
兩條線根本沒碰到，還能談夾角嗎？可以 —— 把其中一條平移到與另一條相交，夾出來的角就是答案，而平移完全不改變方向向量。
內積 = 1·2 + 2·1 + (−1)·1 = 2 + 2 − 1 = 3；|v₁| = |v₂| = √6。
cos θ = |3| ∕ (√6 · √6) = 3∕6 = 1∕2，θ = 60°。
夾角只跟方向有關，跟位置無關 —— 所以歪斜線的夾角公式和相交直線一模一樣。這也解釋了為什麼分子要加絕對值：方向向量取正取負都代表同一條線，加了絕對值才能保證答案唯一落在 0° 到 90°。
3求點 P(1, 2, 3) 到直線 L：(x, y, z) = t(1, 1, 1) 的距離。（L 通過原點 O，方向向量 v = (1, 1, 1)。）
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |OP × v| = √6 ； |v| = √3 ； 距離 = √2
公式是 d = |OP × v| ∕ |v|。OP = (1, 2, 3)，外積 OP × v = (2·1 − 3·1, 3·1 − 1·1, 1·1 − 2·1) = (−1, 2, −1)。
|(−1, 2, −1)| = √1 + 4 + 1 = √6，|v| = √3。所以 d = √6 ∕ √3 = √2。
換個角度驗算：OP 在 v 上的投影長是 (1 + 2 + 3) ∕ √3 = 2√3，而 |OP| = √14，用畢氏定理 √14 − 12 = √2，一樣。
外積的長度是平行四邊形面積，面積 = 底 × 高，底是 |v|，高就是我們要的距離。所以「碰到直線用外積」不是死背 —— 直線身上沒有現成的垂直方向，只能先用外積造一個面積出來，再除掉底。
4已知 L₁ = (1, 0, 0) + t(1, 2, 2)、L₂ = (3, 1, −2) + s(2, 4, 4)。先確認兩線平行，再求它們的距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 k = 2 ； |A₁A₂ × v₁| = 9 ； 距離 = 3
(2, 4, 4) = 2(1, 2, 2)，兩方向向量同方向，確定平行（點 (3, 1, −2) 不在 L₁ 上，所以不是重合）。
平行線處處等寬，於是問題退化成「點 A₂ 到 L₁ 的距離」。A₁A₂ = (2, 1, −2)，外積 (2, 1, −2) × (1, 2, 2) = (1·2 − (−2)·2, (−2)·1 − 2·2, 2·2 − 1·1) = (6, −6, 3)，長度 √36 + 36 + 9 = 9。
|v₁| = 3，所以 d = 9 ∕ 3 = 3。（這題剛好 A₁A₂ · v₁ = 2 + 2 − 4 = 0，也就是 A₁A₂ 本身就垂直於方向向量，難怪距離等於 |A₁A₂| = 3。）
平行才有的特權：在任一條上隨便取一點都行，答案不變。所以看到「兩平行直線的距離」，不必想新公式，直接降級成「點到直線」處理。用 v₁ 或 v₂ 當底也都可以，倍數會在分子分母同時出現、自動抵銷。
5求兩歪斜線 L₁ = (1, 0, 2) + t(1, 2, −1) 與 L₂ = (0, 3, 1) + s(2, 1, 1) 的最短距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |v₁ × v₂| = 3√3 ； 距離 = √3
第 1 題已經算過 v₁ × v₂ = (3, −3, −3)，長度 √9 + 9 + 9 = √27 = 3√3；也算過 A₁A₂ · (v₁ × v₂) = −9。
套公式 d = |−9| ∕ 3√3 = 3 ∕ √3 = √3。
注意這裡完全沒有新的計算 —— 判斷歪斜要的行列式，和求距離要的分子，是同一個數。
這條公式在說「距離 = 體積 ÷ 底面積」：分子是三向量張出的平行六面體體積，分母是兩方向向量張出的底面積，除完剩下的自然是高。所以判定和求距離只是同一個算式的兩種讀法 —— 體積是不是 0，以及體積除以底面積等於多少。
6求點 P(4, 2, 3) 對平面 E：2x − y + 2z = 3 的鏡射點 P′，以及 P 到 E 的距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 P′(0, 4, −1)，距離 = 3
設 P + tn = (4 + 2t, 2 − t, 3 + 2t)，代入平面：2(4 + 2t) − (2 − t) + 2(3 + 2t) = 12 + 9t = 3，得 t = −1，垂足是 H(2, 3, 1)。
鏡射點要走兩倍：P′ = P + 2(−1)n = (4 − 4, 2 + 2, 3 − 4) = (0, 4, −1)。驗算 H 是 P 與 P′ 的中點：((4 + 0)∕2, (2 + 4)∕2, (3 − 1)∕2) = (2, 3, 1) ✓。
距離 = |2(4) − 2 + 2(3) − 3| ∕ 3 = 9 ∕ 3 = 3，也等於 |t| |n| = 3。
鏡射就是「垂足走兩倍」。垂足是中點，所以 P′ = 2H − P 也是一樣的算法。光線反射、最短路徑（把折線拉直成直線）這類題目，關鍵那一步永遠是先把某個點鏡射過去。
7求通過 A(3, 0, 3) 且垂直於平面 E：2x + y + 2z = 3 的直線 L（取 E 的法向量當方向向量），以及 L 與 E 的交點。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 v = (2, 1, 2)，交點 (1, −1, 1)
直線垂直於平面，代表它的方向向量和法向量同方向，所以直接抄係數：v = (2, 1, 2)，L：(3 + 2t, t, 3 + 2t)。
代入平面：2(3 + 2t) + t + 2(3 + 2t) = 12 + 9t = 3，得 t = −1。交點是 (1, −1, 1)，驗算 2 − 1 + 2 = 3 ✓。
這個交點同時也是 A 在 E 上的垂足，所以 A 到 E 的距離 = |t| |n| = 1 × 3 = 3。
「線垂直面」和「面平行面」都是法向量在說話：線垂直面 ⇔ v ∥ n；線平行面 ⇔ v ⊥ n。這兩句剛好相反，是最容易寫反的地方，寫之前先默念一次再下筆。
8含參數的討論。(甲) 平面 E₁：2x − y + kz = 1 與 E₂：x + ky + 3z = 2 垂直，求 k。(乙) 直線 L = (1, 0, 2) + t(3, k, 1) 與平面 E：2x + y + kz = 5 不相交，求 k 並說明兩者的關係。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (甲) k = −1 ； (乙) k = −3，此時 L 與 E 平行
(甲) 兩平面垂直 ⇔ 法向量內積為 0：(2, −1, k) · (1, k, 3) = 2 − k + 3k = 2 + 2k = 0，得 k = −1。
(乙) 直線與平面不相交 ⇔ n · v = 0：(2, 1, k) · (3, k, 1) = 6 + k + k = 6 + 2k = 0，得 k = −3。
但內積為 0 有兩種可能，還要再查一個點。把 k = −3 代回平面得 2x + y − 3z = 5，再把 L 上的點 (1, 0, 2) 代進左邊：2 + 0 − 6 = −4 ≠ 5，點不在平面上，所以是平行而不是躺在平面上。
含參數的題目，套的公式和不含參數時完全一樣，只是把數字換成 k、最後多解一個方程式。真正的陷阱在最後一步：內積為 0 只保證「不斜著穿過去」，一定要再拿一個點檢查，才分得出平行和包含。
9四面體 OABC 的頂點是 O(0, 0, 0)、A(3, 0, 0)、B(0, 3, 0)、C(0, 0, 6)。已知平面 ABC 可寫成 2x + 2y + z = d，求 d、四面體體積、O 到平面 ABC 的距離，以及 △ABC 的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 d = 6 ； 體積 = 9 ； 距離 = 2 ； 面積 = 27∕2
三個截距是 3、3、6，用截距式 x∕3 + y∕3 + z∕6 = 1，兩邊乘 6 得 2x + 2y + z = 6，所以 d = 6。
OA、OB、OC 兩兩垂直，體積 = (1∕6)(3)(3)(6) = 9。
距離 = |0 + 0 + 0 − 6| ∕ √4 + 4 + 1 = 6 ∕ 3 = 2。
最後用「體積 = (1∕3) × 底面積 × 高」倒推：9 = (1∕3) × 面積 × 2，面積 = 27∕2。也可以直接算 (1∕2)|AB × AC| = (1∕2)|(18, 18, 9)| = 27∕2，兩種算法一致。
一個四面體的體積有很多種算法，挑「三條邊互相垂直」的那個頂點下手最省事。而當你已經有體積、又想要某一面的面積時，用 V = (1∕3)Sh 反推，比硬算外積快得多 —— 距離、面積、體積三者永遠可以互相換算。
10綜合題。已知 E₁：x + y + 2z = 4、E₂：x − y = 2，兩平面交於直線 L。求兩平面夾角、L 的方向向量（取 n₁ × n₂ 化成最簡整數）、L 上 z = 0 的點 P，以及 OP 的長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 θ = 90° ； v = (1, 1, −1) ； P(3, 1, 0) ； |OP| = √10
n₁ = (1, 1, 2)，n₂ = (1, −1, 0)。內積 = 1 − 1 + 0 = 0，所以兩平面垂直，θ = 90°。
交線方向 n₁ × n₂ = (1·0 − 2·(−1), 2·1 − 1·0, 1·(−1) − 1·1) = (2, 2, −2)，約成最簡整數是 (1, 1, −1)。
令 z = 0：x + y = 4 與 x − y = 2，相加得 x = 3、y = 1，所以 P(3, 1, 0)。兩式都驗算過沒問題。
|OP| = √3² + 1² + 0² = √10。
一題把整章串起來：夾角看內積、交線看外積、找點靠聯立、長度回到距離公式。遇到綜合題不要急著找「這題的公式」，先把手上的平面各自翻成法向量、直線翻成方向向量，接下來每一問都只是這幾個向量的內積或外積。
三種作答方式 直接在格子裡打字；或用格子下方的「符號鍵盤」按出根號、分數線與負號，按一下就填進目前作用中的那一格；或按「拍照或上傳 PDF 作答」，把手寫算式拍成照片、或整份寫好的 PDF 帶上來。檔案只會留在你自己的裝置上，不會傳出去。上傳後這一題的正確答案與解法會直接攤開，讓你對著自己的過程批一次——錯在哪一步，比錯在哪一題更值得知道。