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多項式
從「什麼是多項式」一路走到「多項式不等式」，中間會經過綜合除法、餘式與因式定理、二次與三次函數的圖形。這一章的每個定理其實都在講同一句話：f(x) 除以 (x − a) 的餘式，就是 f(a)。下面每一台機器都可以自己拉、自己試。
多項式的基本概念
多項式的門檻只有一條：每一項 x 的次方都必須是非負整數。點下面任一個式子，看它進不進得了門。
三個名詞一次記清楚 把式子由高次排到低次之後：次數是最高次項的次方，領導係數是最高次項前面的數字，常數項是完全沒有 x 的那一項。次數和領導係數看頭，常數項看尾——這三個之後每一節都會用到。
四則運算與綜合除法
加減是同次項的係數相加減，乘法是逐項相乘再合併同類項。真正需要練的是除法——而除式是一次式的時候，綜合除法可以把整個直式壓成三列數字。
怎麼讀這三列 第一列是被除式的係數，缺項要補 0。第二列是「上一格的結果乘以 k」，第三列是上下相加。最後一格（紅色）就是餘式，前面幾格由左到右就是商式的係數，次數會比原來少一次。把 k 拉到 2 試試看，餘式會變成 0。
為什麼要寫成三列
直式長除法每一步都要重抄一次 x 的次方，容易抄錯也很佔位子。綜合除法把「除式是一次式」這個條件用到底，只留下係數，所以整個過程壓成三列數字。
代價是它只能用在除式為一次式的時候。除式是二次以上，還是得乖乖寫直式，或者改用餘式定理設未知數去解。
餘式定理與因式定理
上面那台機器最後一格的紅色數字，其實不用做除法也算得出來——它就是 f(k)。這就是餘式定理；而當它等於 0，(x − k) 就是因式，這是因式定理。
餘式定理
f(x) ÷ (x − a) 的餘式 = f(a)
因為 f(x) = (x − a)·Q(x) + R，把 x = a 代進去，前面那一項整個變成 0，只剩下 R。所以問餘式，就是代一個數字進去算，不必真的做除法。
除式如果是二次的 (x − a)(x − b)，餘式最多是一次，先設成 px + q，再用兩次餘式定理列兩條方程式解出來。餘式的次數一定比除式低，這是設未知數的依據。
因式定理
(x − a) 是 f(x) 的因式 ⟺ f(a) = 0
餘式定理的特例：餘式是 0 就代表整除。所以「找因式」和「找根」是同一件事——把根找到，因式就跟著出來了。
代 (x + 2) 的時候要代 x = −2，符號要反過來。這是這一節最常見的失分點。
一次因式檢驗法
整係數多項式如果有整數根，那個根一定是常數項的因數。所以候選名單很短，一個一個試就好，不必亂猜。
領導係數不是 1 的時候，候選是「常數項的因數 ÷ 領導係數的因數」，會多一些分數的可能。下面的獵人固定領導係數為 1，先把主要的想法練熟。
自己驗一次 預設的 f(x) = x³ − 7x + 6 會找到三個整數根 −3、1、2，也就是 (x + 3)(x − 1)(x − 2)。把常數項拉成質數（例如 5 或 7），候選名單會立刻縮到只剩四個——這就是一次因式檢驗法省下來的力氣。
函數的概念與一次函數
函數是一種「一個進去、只能有一個出來」的對應關係。多項式函數就是把多項式當成這個對應規則。
函數的定義與圖形判定
對定義域裡的每一個 x，恰好對應一個 y。畫在座標平面上就是鉛直線檢驗：任何一條鉛直線最多只能跟圖形交於一點。
一個 x 配兩個 y 不行，但兩個不同的 x 配到同一個 y 完全可以（例如 y = x²）。方向不要記反。
一次函數 y = ax + b
y = ax + b（a ≠ 0）
圖形是一條直線，a 是斜率、b 是 y 截距。a > 0 往右上、a < 0 往右下，a 的絕對值越大越陡。
a = 0 的時候剩下 y = b，是水平線，屬於常數函數（次數 0），不算一次函數。這個邊界條件常出現在選擇題。
二次函數：互動座標紙
開口向哪、頂點在哪、跟 x 軸交幾點——三件事都由係數決定。與其背判別式的三種情況，不如把 c 拉上拉下，看那兩個紅點自己碰在一起然後消失。
y = x² − 4x + 3
自己驗一次 保持 a = 1、b = −4，把 c 從 3 慢慢拉到 5。兩個紅點會靠攏、在 c = 4 時重合成一點（相切），之後就整條浮到 x 軸上面、一個交點都沒有。判別式從正變零再變負，說的就是這件事。
三種寫法，各有各的用處
一般式 y = ax² + bx + c頂點式 y = a(x − h)² + k，頂點 (h, k)交點式 y = a(x − r₁)(x − r₂)，兩根 r₁、r₂
題目給什麼就用哪一種：給三點用一般式、給頂點用頂點式、給兩根用交點式。硬要全部用一般式解，會多解好幾個聯立。
對稱軸 x = −b ∕ 2a，也等於兩根的平均 (r₁ + r₂) ∕ 2。算完根用這個關係驗算，幾乎不會錯。
判別式與極值
D = b² − 4ac
| 判別式 | 與 x 軸 | 實根 |
|---|---|---|
| D > 0 | 交於兩點 | 相異兩實根 |
| D = 0 | 相切於頂點 | 重根 |
| D < 0 | 不相交 | 沒有實根 |
a > 0 開口向上，頂點是最低點，有極小值；a < 0 開口向下，頂點是最高點，有極大值。口訣：a 正笑臉有極小、a 負哭臉有極大。
三次函數的圖形
四個係數各自負責一件事。把滑桿拉歪，看極大、極小和反曲點怎麼跑——判別式在說什麼，靜態圖說不清楚，要自己拉才懂。
y = x³ − 3x
自己驗一次 把 c 拉到 0 以上，兩個極值會合併消失——因為 b² − 3ac 變成負的，導函數沒有實根，曲線就一路單調。反曲點固定在 x = −b ∕ 3a，只有 b 拉得動它。
廣域特徵與局部特徵
看一個多項式函數的圖形，要同時看兩個尺度：拉遠看兩端往哪裡跑（廣域），拉近看中間有幾個轉彎（局部）。
廣域特徵：兩端的走向
把圖形拉得夠遠，最高次項會壓過其他所有項，所以兩端的走向只由次數的奇偶和領導係數的正負決定。
| 次數 | 領導係數 | 左端 | 右端 |
|---|---|---|---|
| 偶次 | 正 | 往上 | 往上 |
| 偶次 | 負 | 往下 | 往下 |
| 奇次 | 正 | 往下 | 往上 |
| 奇次 | 負 | 往上 | 往下 |
奇次函數兩端一上一下，所以中間一定要穿過 x 軸至少一次——奇次多項式方程式必定有實根，理由就在這裡。
局部特徵：轉彎的次數
n 次多項式函數最多有 n − 1 個轉彎點
二次最多轉一次（一個頂點），三次最多轉兩次（一個極大、一個極小），四次最多轉三次。實際的轉彎次數可能更少，但不會更多。
「最多」兩個字很重要：三次函數也可能一個轉彎都沒有，一路單調往上——就是上面把 c 拉到正的那種情況。
多項式函數圖形的畫法
先因式分解找出所有實根，在數線上標出來；再用廣域特徵決定最右端往上還是往下；然後由右往左，穿過一個單根就換一次方向。
重根的地方「穿不過去」：偶重根碰一下就彈回來（相切），奇重根會穿過去但比較平緩。這一點跟下一節的符號表是同一個道理。
多項式不等式：符號表
解多項式不等式不必逐段代數字。先因式分解找到所有根，在數線上標出來，然後從最右邊開始標符號，往左一段一段換。拉下面的滑桿試試看。
兩個容易錯的地方 第一，把兩個根拉成一樣（重根），符號在那裡不會換——碰一下就彈回來。第二，最高次項係數是負的時候，最右邊那段是負號，整張表要整個翻過來；很多人會忘記先把負號處理掉。
記憶軸
歌詞一句一顆節點。點下去，上面對應的座標紙會跳到那一句描述的形狀——聽歌和看圖是同一件事。
二次四種開口與位置
三次轉彎與反曲
歌詞待補 節點的機制已經做好、現在就能點，形狀會跟著跳。等老王確認歌詞可以公開、要拆成哪幾句，把上面的字換掉就好，程式不用再動。
隨堂六題
答完立刻給解釋。解釋會叫你回到上面的機器自己驗一次——測驗不是終點，是回到互動區的理由。
第一題 f(x) 除以 (x − 3) 的餘式，等於下面哪一個？
餘式定理：f(x) = (x − 3)Q(x) + R，代 x = 3 進去，前面整項變 0，只剩 R = f(3)。回到上面的綜合除法演算台，把 k 拉到 3，最後那格紅色數字就會等於你自己代 3 算出來的值。
第二題 已知 f(−2) = 0，下面哪一個一定是 f(x) 的因式？
因式定理是 (x − a) 配 f(a) = 0。這裡 a = −2，所以因式是 (x − (−2)) = (x + 2)。符號要反過來，這是最常錯的一步。到上面的因式獵人把常數項調到讓 −2 出現在名單裡，就會看到它被標成「是因式」。
第三題 整係數多項式 x³ + 2x² − 5x − 6 如果有整數根，這個根一定是哪些數之一？
一次因式檢驗法：領導係數是 1 的時候，整數根一定是常數項 −6 的因數，也就是 ±1、±2、±3、±6，總共八個候選。試一下會發現 −1、2、−3 都是根。候選名單很短，這就是這個方法的價值。
第四題 y = x² − 4x + 3 的對稱軸是哪一條？
對稱軸是 x = −b ∕ 2a = −(−4) ∕ 2 = 2。注意 b 是 −4，代進去要連負號一起代。上面第 5 節的座標紙預設就是這條式子，紅筆標的頂點 x 座標正好是 2。
第五題 判別式 D = b² − 4ac 小於 0，代表什麼？
判別式管的是「有沒有實根」，也就是碰不碰得到 x 軸，跟開口方向無關（那是 a 的事）。D < 0 代表沒有實根，整條曲線都在 x 軸的同一側。回到第 5 節把 c 拉大到 5 以上，紅筆的說明會自己改成「沒有實根」。
第六題 y = ax³ + bx² + cx + d 的反曲點，x 座標是多少？
二階導數 y″ = 6ax + 2b，令它等於 0 得 x = −b ∕ 3a。跟二次函數對稱軸的 −b ∕ 2a 只差分母那個數字，很容易記混。回到第 6 節只拉 b，會看到只有它推得動反曲點。
習題：基本與進階
兩種作答方式都可以。直接在欄位裡打答案，按「檢查答案」就會即時批改：對了顯示「正確」，錯了會把正確答案和解法攤開給你看。不方便打字的話，寫在紙上拍照，或把手寫檔轉成 PDF 上傳，載入後也會跳出正解讓你自己對。
怎麼寫答案 下面的鍵盤可以直接點，數字、x、次方、括號都會填進你正在打字的那一格（框線變紅的就是）。次方用 ^ 例如 x^2，也可以直接打 x²；分數用斜線例如 3/4。答案等值就算對，所以 x^2-2x+1 和 (x-1)^2 都會被判正確，不必跟標準答案長得一模一樣。上傳的照片或 PDF 只留在你自己的裝置上，不會傳到任何地方。
基本把定義和定理各用一次
1判斷下列各式是不是多項式：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 是 (2) 不是 (3) 不是 (4) 是
多項式只收「非負整數次方」。3x³ − 5x + 1 每一項都合格。2x⁻¹ 的次方是 −1，等於 2⁄x，分母有 x 就出局。√x 等於 x 的 1⁄2 次方，分數次方也不行。x³⁄5 − 7 的分母是常數 5，次方沒變，所以還是多項式——分母有沒有 x 才是關鍵。
2已知 f(x) = 4x⁵ − 3x² + 7x − 2，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 5 (2) 4 (3) −2
次數看最高次項 4x⁵，所以次數是 5，它前面的係數 4 就是領導係數。常數項是完全沒有 x 的那一項 −2，負號要一起帶走。三個問題其實都在問同一件事：把式子由高次排到低次，頭尾各看一眼。
3設 f(x) = 2x² + 3x − 1、g(x) = x² − 5x + 4，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −2 (2) −5
加減法就是同次項的係數相加減，不必整條展開。一次項：3 + (−5) = −2。常數項：(−1) − 4 = −5。相減的時候整個 g(x) 都要變號，這裡最常掉的就是那個負號。
4展開 (2x − 3)(x² + x − 4) 之後，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −1 (2) 12
只問兩個係數，就不用整條展開。x² 項來自 2x·x = 2x² 和 (−3)·x² = −3x²，合起來 −1。常數項只可能來自 (−3)·(−4) = 12。想清楚「哪兩項相乘會落在我要的次方上」，比硬乘一遍快很多。完整答案是 2x³ − x² − 11x + 12。
5用綜合除法計算 (x³ − 4x² + 5x − 2) ÷ (x − 2)，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) x² − 2x + 1 (2) 0
除式 x − 2 的根是 2，係數列 1、−4、5、−2。落下 1，1×2 = 2、−4 + 2 = −2；−2×2 = −4、5 − 4 = 1；1×2 = 2、−2 + 2 = 0。所以商式 x² − 2x + 1、餘式 0。餘式是 0 代表 (x − 2) 整除，順帶就知道它是因式。
6設 f(x) = x³ + 2x² − 5x + 3，用餘式定理求它除以 (x − 1) 的餘式：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1
餘式定理：f(x) 除以 (x − a) 的餘式就是 f(a)，不必真的做除法。f(1) = 1 + 2 − 5 + 3 = 1。整個定理的用處就在這裡——問餘式，就直接代進去算一個數。
7設 f(x) = x³ − 7x + 6，判斷下列各式是不是 f(x) 的因式：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 是 (2) 不是 (3) 是
因式定理：(x − a) 是因式 ⟺ f(a) = 0。f(1) = 1 − 7 + 6 = 0，是。f(−2) = −8 + 14 + 6 = 12，不是 0，所以 (x + 2) 不是因式。f(−3) = −27 + 21 + 6 = 0，是。注意 (x + 2) 要代 x = −2，符號要反過來，這一步最常錯。
8解方程式 x³ − 7x + 6 = 0，由小到大寫出三個根：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −3 (2) 1 (3) 2
承上題，(x − 1) 和 (x + 3) 都是因式。用綜合除法降次之後剩下 (x − 2)，所以 x³ − 7x + 6 = (x − 1)(x − 2)(x + 3)，三根是 −3、1、2。先用因式定理找到一個根，再降次，是三次方程式的標準流程。
9已知 y = x² − 6x + 5，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 3 (2) −4 (3) 1 (4) 5
對稱軸 x = −b⁄2a = 6⁄2 = 3。頂點 y 座標把 x = 3 代回去：9 − 18 + 5 = −4。與 x 軸的交點解 x² − 6x + 5 = 0，因式分解 (x − 1)(x − 5) = 0，得 1 和 5。順帶檢查：兩根的平均 (1 + 5)⁄2 = 3，正好是對稱軸，這是很好用的驗算法。
10若 y = x² − 4x + k 的圖形與 x 軸相切，求 k：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 4
相切代表跟 x 軸只碰一點，也就是重根，判別式 D = 0。D = (−4)² − 4(1)(k) = 16 − 4k = 0，解得 k = 4。判別式三種情況要背熟：D > 0 兩交點、D = 0 相切、D < 0 不相交。
11求 y = −2x² + 8x − 5 的極大值：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3
a = −2 是負的，開口向下，所以頂點就是最高點，有極大值。頂點 x = −b⁄2a = −8⁄(−4) = 2，代回去 y = −8 + 16 − 5 = 3。口訣：a 正笑臉有極小、a 負哭臉有極大。
12已知 f(x) = x³ − 3x，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2 (2) −2 (3) 0
y′ = 3x² − 3 = 0 得 x = ±1。y(−1) = −1 + 3 = 2 是極大，y(1) = 1 − 3 = −2 是極小。反曲點看 y″ = 6x = 0，得 x = 0。三次函數的反曲點永遠在 x = −b⁄3a，這題 b = 0，所以就落在原點。
進階兩三步才到得了答案
1設 f(x) 除以 (x − 1) 的餘式是 3、除以 (x − 2) 的餘式是 5，求 f(x) 除以 (x − 1)(x − 2) 的餘式：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2x + 1
除式 (x − 1)(x − 2) 是二次，餘式最多一次，設成 ax + b。由餘式定理：f(1) = 3 得 a + b = 3；f(2) = 5 得 2a + b = 5。相減得 a = 2，回代 b = 1，餘式 2x + 1。重點是先看除式的次數決定餘式長什麼樣子，再用餘式定理列方程式。
2設 f(x) = x³ + ax² + bx − 6 有因式 (x − 1) 與 (x + 2)，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 4 (2) 1
有因式就代根等於 0。f(1) = 1 + a + b − 6 = 0 → a + b = 5。f(−2) = −8 + 4a − 2b − 6 = 0 → 2a − b = 7。兩式相加得 3a = 12、a = 4，回代 b = 1。驗算 f(x) = x³ + 4x² + x − 6，f(1) = 0、f(−2) = 0，兩個都對上了。
3用綜合除法計算 (2x³ − 3x² + 4x − 1) ÷ (x + 1)，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2x² − 5x + 9 (2) −10
除式 x + 1 的根是 −1，係數列 2、−3、4、−1。落下 2，2×(−1) = −2、−3 − 2 = −5；−5×(−1) = 5、4 + 5 = 9；9×(−1) = −9、−1 − 9 = −10。商式 2x² − 5x + 9、餘式 −10。除式是 (x + 1) 的時候要代 −1，不是 1。
4解方程式 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0，由小到大寫出三個根：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 1 (2) 2 (3) 3
常數項 −6 的因數 ±1、±2、±3、±6 都是候選。試 f(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0，中了。綜合除法降次得 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)，所以三根是 1、2、3。一次因式檢驗法的價值就在這裡：候選只有幾個，不必亂猜。
5解不等式 x² − 5x + 6 > 0。答案可以寫成「x < p 或 x > q」，求 p、q：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2 (2) 3
先因式分解 x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)。兩根 2、3 把數線切成三段，最高次項係數是正的，所以最右邊那段是正號，往左「正、負、正」。要大於 0 就取兩端：x < 2 或 x > 3。開口向上的拋物線大於 0，答案一定是「兩端」；小於 0 才是「中間」。
6解不等式 (x + 1)(x − 2)(x − 4) < 0。答案可以寫成「x < p 或 q < x < r」，求 p、q、r：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −1 (2) 2 (3) 4
三個根 −1、2、4 已經寫在式子上了。最高次項係數是正的，最右邊那段是正號，往左依序「正、負、正、負」。要小於 0，取負號的那兩段：x < −1 或 2 < x < 4。從右邊開始倒著標符號，比逐段代數字快得多，上面第 8 節的符號表就是在練這件事。
7已知二次函數 y = ax² + bx + c 的圖形通過 (0, 3)、(1, 0)、(−1, 10)，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2 (2) −5 (3) 3
先代最好算的 (0, 3)：c = 3。再代 (1, 0)：a + b + 3 = 0 → a + b = −3。代 (−1, 10)：a − b + 3 = 10 → a − b = 7。兩式相加 2a = 4、a = 2，回代 b = −5。過三點求二次函數，先挑 x = 0 那一點下手，可以少解一個未知數。
8設 f(x) = x³ + kx² − 4x + 3 除以 (x − 2) 的餘式是 7，求 k：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1
餘式定理：除以 (x − 2) 的餘式就是 f(2)。f(2) = 8 + 4k − 8 + 3 = 4k + 3。令它等於 7 得 4k = 4、k = 1。含未知係數的餘式問題，全都是這個套路：代根、令餘式相等、解方程式。
9已知 y = x³ − 3x² + 4，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 4 (2) 0 (3) 1
y′ = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0 得 x = 0 或 2。y(0) = 4，y(2) = 8 − 12 + 4 = 0。a > 0 的三次函數先升後降再升，所以左邊的 x = 0 是極大值 4、右邊的 x = 2 是極小值 0。反曲點 y″ = 6x − 6 = 0 得 x = 1，正好在兩個極值的正中間——這永遠成立，可以拿來驗算。
好學範例影片
第二章「多項式函數」的十二支範例影片，依例題順序排列。題目卡住的時候，先自己算一次再打開來對，比直接看解答有用。
影片來源 這十二支影片是「老王看世界」頻道裡龍騰學測數A好好學複習講義第 2 單元的例題講解，順序與原文相同。
本週任務單
提問、檢索、驗證、產出。做完交回來的東西，就是你自己的理解。
- 提問
找一個會「先上升到最高點、再掉下來」的東西，把它寫成一句問句。
- 檢索
拍一段它的側面影片或找一張側面照，能看出完整的弧線。
- 驗證
回到上面的二次函數座標紙，調 a、b、c 去逼近那道弧，記下你用的三個數字。
- 產出
用一句話說明：改變 a 的時候，你的那道弧發生了什麼事。
台東的熱氣球 → 二次函數
同一支影片，重新標記之後就是數學情境素材。看熱氣球的時候順便問三個問題：頂點在哪裡？開口是往上還是往下？如果把地面當成 x 軸，它跟地面交在哪兩點？
原片連結待補 影片目前放在「老王看世界」頻道，逐支歸位後會把單支連結補在這裡。上面這張是示意圖。