課程地圖 ／ 第七章
機率與期望值
這一章從頭到尾只在做一件事：把「分母是誰」講清楚。古典機率的分母是整個樣本空間，條件機率的分母縮小成已知發生的那個事件，貝氏定理則是把分母換成「所有可能造成這個結果的路徑總和」。下面每一個圖都可以拉、可以按，先看分母怎麼換，公式自然就站得住。
這一章包含的單元 第二冊單元六古典機率、單元七數學期望值；第四冊 A 單元七條件機率與貝氏定理；第四冊 B 單元四條件機率、單元五貝氏定理。單元架構與例子依老王看世界〈學測數學總複習 第七章 機率與期望值〉的十條觀念編排。
樣本空間：先把所有可能攤開
一個隨機試驗所有可能結果所成的集合，稱為樣本空間，常以集合 S 表示。樣本空間內的每一個元素稱為樣本點，或簡稱樣本。
機率題目做不出來，十次有八次是樣本空間沒攤開。先問自己：這個試驗到底在觀察什麼？觀察的對象換了，樣本空間就跟著換。按下面任一顆按鈕，把樣本點一個一個列出來看。
最常見的錯 「丟三次硬幣」的樣本點是「正正反」這種有順序的三連字，不是「兩正一反」這種組合。前者 8 個樣本點，機率相等；後者只有 4 種，機率並不相等，不能直接拿來當分母。
事件：樣本空間的任一子集
樣本空間的任一子集，都稱為一個事件，常以大寫字母 A, B, C, … 表示。
擲一顆公正骰子時 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，那麼 A = {1, 3, 5} 就是「出現奇數點」的事件，B = {2, 4, 6} 是「出現偶數點」的事件，C = {2} 是「出現 2 點」的事件。事件既然是集合，集合的四種運算就原封不動搬過來用。
- 交集 A ∩ B
表示 A, B 同時發生的事件。題目裡的「而且」「兩者都」通常對應交集。
- 聯集 A ∪ B
表示 A 或 B 至少一個發生的事件。「或」「至少一個」對應聯集。
- 補集 A′ = S − A
表示 A 不發生的事件。「都不」「沒有任何一個」對應補集。
- 互斥
當 A, B 不會同時發生，即 A ∩ B = φ，稱為 A, B 互斥。
古典機率的定義：數個數再相除
設樣本空間 S 的樣本點個數為有限個，且每個樣本點出現的機會相等，定義事件 A 發生的機率為 P(A) = n(A) ∕ n(S)，其中 n(A) 與 n(S) 分別表示 A 與 S 的個數。
原文的兩個例子
從 52 張撲克牌中任取一張
每張被抽到的機會相等，即 n(S) = 52，則抽到點數 6 的方法數為 n(A) = 4（黑桃、紅心、方塊、梅花），所以抽到點數 6 的機率為 P(A) = 4 ∕ 52 = 1 ∕ 13。
箱中有 3 個紅球與 1 個白球
取到紅球的機率為 P(紅) = 3 ∕ 4。這裡的關鍵是計算機率時，物品應視為相異——3 個紅球雖然看起來一樣，仍要當成三顆不同的球來數，否則分母會算錯。
常見問題：擲一顆公正骰子兩次，觀察點數和
樣本空間 S 的個數 n(S) = 6 × 6 = 36。求點數和為 5 的機率時，事件 A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}，個數 n(A) = 4（每一個數對當成一個樣本點，共 4 個樣本點），所以 P(A) = 4 ∕ 36 = 1 ∕ 9。拉動滑桿看看每一種點數和各有幾種方法。
機率的性質：六條，其實只有兩個想法
設 S 為一試驗的樣本空間，A, B, C 為三事件，機率有下面六條性質。前三條在講範圍，後三條在講「重疊的地方不要重複算」。
| (1) | 空事件 φ 的機率為 P(φ) = 0，全事件 S 的機率為 P(S) = 1。 |
|---|---|
| (2) | 任一事件 A 發生的機率範圍為 0 ≤ P(A) ≤ 1。 |
| (3) | 事件 A 的補集 A′ 的機率為 P(A′) = 1 − P(A)。 |
| (4) | 事件 A 與 B 至少一發生的機率為 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)。 |
| (5) | P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)。 |
| (6) | 當事件 A, B 為互斥事件，即 P(A ∩ B) = 0，此時 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。 |
把三條軸的長度當成機率，拉拉看就知道為什麼要扣一次交集。
數學期望值：金額乘上機率再加起來
設 S 為一試驗的樣本空間，事件 A1, A2, …, An 為兩兩互斥的事件，且 S = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An（此時稱這組事件為樣本空間 S 的一種分割）。若每一事件 Ai 發生的機率為 pi，可得對應的值 mi，則此試驗的數學期望值，簡稱期望值為：
先把「分割」看懂：所有情況必須不重不漏，機率加起來剛好是 1。拉動下面的袋數，看期望值怎麼在兩個金額之間移動。
原文的例子：一年期人壽保險
假設根據統計資料得知，50 歲的成年人存活一年的機率為 0.9998。若某保險公司推出一年期的人壽保險方案，投保人若在投保一年內死亡，可獲得理賠金 200 萬元，否則不予理賠，保費 2400 元，可得保險公司這份保單的期望值為：
為什麼兩項都有 2400 保費是無論如何都收得到的，所以兩種情況都要算進去；理賠金 200 萬則只在死亡時才付出，記成負的。算出來 E = 2000 元 是正的，代表這份保單長期而言對保險公司有利——期望值的用途正是拿來判斷「長期下來誰划算」，而不是預測單一一次的結果。
條件機率：把分母換掉
設 A, B 為兩事件且 P(A) > 0，在事件 A 發生的條件下，事件 B 也發生的機率，稱為條件機率，記為：
事件 A 發生的條件下，事件 B 發生的機率，可想成 A ∩ B 在 A 中所占的比率。原文的例子是某班 35 人，會游自由式的有 20 人，會游蛙式的有 15 人，兩種都會的有 10 人；今任選一人，已知此人會游自由式，則此人也會蛙式的機率為 10 ∕ 20 = 1 ∕ 2。拉動滑桿改人數，看分母怎麼從 35 縮成 20。
乘法定理：由條件機率反推交集
由 P(B | A) = P(A ∩ B) ∕ P(A) 可得到事件 A, B 同時發生的機率為 P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)，即事件 A 發生的機率，乘以事件 A 發生的條件下事件 B 發生的機率。
原文的例子：戳戳樂 遊戲盒的 12 格中有 5 格有獎。甲、乙兩人依序各戳一格，則甲乙兩人都中獎的機率為 5 ∕ 12 × 4 ∕ 11 = 5 ∕ 33；甲中獎但乙未中獎的機率為 5 ∕ 12 × 7 ∕ 11 = 35 ∕ 132。注意乙的分母變成 11——甲已經戳掉一格了，這就是條件機率在「不放回」問題裡的樣子。
獨立事件：知道了也沒差
事件 B 發生，與事件 A 發生與否互不影響時，稱事件 A 與 B 為獨立事件。
若 P(A) > 0 且事件 A 與 B 為獨立事件，則 P(B | A) = P(B)——加了條件跟沒加一樣。由 P(B | A) = P(B) 可知 P(A ∩ B) ∕ P(A) = P(B)，因此可推得：
擲一公正骰子一次，設事件 A = {1, 3, 5} 為出現奇數點的事件，事件 B = {1, 6} 為出現 1 或 6 點的事件，則 P(A) = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2，P(B) = 2 ∕ 6 = 1 ∕ 3，A ∩ B = {1}，P(A ∩ B) = 1 ∕ 6 = 1 ∕ 2 × 1 ∕ 3 = P(A) P(B)，故事件 A 與 B 為獨立事件。
互斥 ≠ 獨立 互斥是「不可能同時發生」（P(A ∩ B) = 0），獨立是「發不發生互不影響」（P(A ∩ B) = P(A)P(B)）。兩個機率都不為 0 的事件如果互斥，反而一定不獨立——因為知道 A 發生了，B 就確定不會發生，這影響大得很。
若事件 A 與 B 為獨立事件，則 A′ 與 B、A 與 B′、A′ 與 B′ 也都是獨立事件。原文的例子是甲、乙兩人在罰球線投籃投進的機率分別為 1 ∕ 5 與 1 ∕ 10，兩人投進與否互不影響。拉動滑桿，看整塊面積怎麼被切成四塊。
原文的算式 兩人都投進的機率為 1 ∕ 5 × 1 ∕ 10 = 1 ∕ 50；恰有一人投進的機率為 1 ∕ 5 × 9 ∕ 10 + 4 ∕ 5 × 1 ∕ 10 = 13 ∕ 50；至少有一人投進的機率為 1 − P(兩人都不進) = 1 − 4 ∕ 5 × 9 ∕ 10 = 7 ∕ 25。
貝氏定理：倒過來問來源
設 {A1, A2, …, An} 為樣本空間 S 的一種分割，且事件 B 為樣本空間 S 的任一事件。若 P(B) > 0，則事件 B 發生的條件下，事件 Ak（k = 1, 2, …, n）發生的機率為：
公式很長，但它只做兩件事：分母把「所有可能造成 B 的路徑」全部加起來，分子留下你想問的那一條。原文的例子是某工廠有甲、乙兩台機器，其產量分別占總產量的 2 ∕ 5 與 3 ∕ 5，依照過去經驗知甲、乙兩機器生產的產品中的不良率分別為 4% 與 3%。拉動滑桿改比例，看右邊那條「不良品的來源」怎麼跟著變。
原文的算式 今任選一產品，則該產品為不良品的機率為 2 ∕ 5 × 4 ∕ 100 + 3 ∕ 5 × 3 ∕ 100 = 17 ∕ 500；已知該產品為不良品，則該產品為甲機器所產生的機率為 P(甲 | 不良) = (2 ∕ 5 × 4 ∕ 100) ∕ (2 ∕ 5 × 4 ∕ 100 + 3 ∕ 5 × 3 ∕ 100) = 8 ∕ 17。甲的產量只占 2 ∕ 5 = 40%，但不良品裡甲佔了 8 ∕ 17 ≈ 47%——因為它比較會出包。
客觀機率與主觀機率
除了古典機率 P(A) = n(A) ∕ n(S) 之外，還有其他定義機率的方式。
客觀機率
根據統計數據或過去經驗而得的機率。
例如：過去三年來，金塊隊與湖人隊例行賽的對戰 12 場的經驗中，金塊隊勝 9 場，湖人隊勝 3 場，因此金塊隊每場比賽獲勝的客觀機率為 9 ∕ 12 = 3 ∕ 4。
客觀機率是根據統計數據得來的，所以並非是個不變的機率。再打十場，數字就會跟著動。
主觀機率
在缺乏調查或資料的情況下，觀察者會根據心理的感覺來判斷事件發生的機率。
例如：某生本次考試準備充分，信心滿滿，認為本次考試及格的主觀機率為 0.9。
主觀機率沒有數據支撐，不同人給的數字可以完全不同，但它仍然必須守規矩。
無論是古典機率或客觀機率或主觀機率，都要滿足兩個性質：
- (1) 樣本空間 S 的機率為 1
所有可能的情況加起來必須剛好是全部，不能多也不能少。
- (2) 任意事件 A 發生的機率 P(A) 必滿足 0 ≤ P(A) ≤ 1
沒有負的機率，也沒有超過 1 的機率。有人說「我有 120% 的把握」，那是修辭，不是機率。
列聯表：把兩個分類交叉起來數
將事件的元素個數以表格的方式呈現各組的交叉分布狀況，將此表稱為列聯表。
原文的例子是某班 35 位同學中，男生有 20 位，其中數學及格者有 15 位，女生有 15 位，其中數學及格者有 8 位。列聯表最大的好處是：條件機率的分母直接就是某一列或某一行的總和，不必再重算。
列聯表的獨立性質
若某班同學中，性別與數學及格與否為獨立事件，用列聯表呈現時，男生的及格與不及格為 a : b，女生為 c : d，則 a : b = c : d。換句話說，兩列的比例一樣，就表示性別對及格率沒有影響。拉動滑桿試試看什麼時候會變成獨立。
記憶軸：卡住的時候先問這四句
這一章的公式看起來很多，但真正的分岔只有四個。按一顆看它在講什麼。
按上面任一顆按鈕，這裡會出現對應的提醒。
習題：基本與進階
下面 28 題涵蓋這一章的十個觀念。可以直接在格子裡填答案，用底下的符號鍵盤點按也可以；分數請用斜線寫成 1/2 這樣，寫成小數 0.5 一樣算對。想寫在紙上就用「拍照或上傳 PDF 作答」把手寫過程帶進來，照片和檔案只留在你自己的裝置上，不會上傳到任何地方。按「檢查答案」之後，對的會標正確，錯的會直接把正確答案和解法攤開。
關於題目來源 原文章〈學測數學總複習 第七章 機率與期望值〉的習題區目前註明「題目已加，陸續更新」，實際只發布了四題基本題、進階題尚未附上題目。所以下面基本題第 1 到 4 題逐題取自原文，題目文字與數字都照原文；基本題第 5 題之後與全部進階題，是依照原文同一章的十條觀念與其所附例子另外編寫的，等原文的題目補上之後可以再替換。
基本原文的四題，加上依同章觀念補寫的十四題
1丟一公正硬幣三次，樣本空間 S 有幾個樣本點？
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 8
每丟一次有正、反兩種結果，丟三次就是 2 × 2 × 2 = 8。把樣本點寫出來是 S = {正正正, 正正反, 正反正, 正反反, 反正正, 反正反, 反反正, 反反反}，確實 8 個。這裡最容易錯的是把它想成「幾個正面」而答 4（0 個、1 個、2 個、3 個正面）——但那是把不同的樣本點合併了，而且合併之後每一類的機率並不相等，不能拿來當分母。
2丟一公正骰子，求丟出偶數點的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ∕ 2
樣本空間 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，n(S) = 6。偶數點的事件 A = {2, 4, 6}，n(A) = 3。所以 P(A) = n(A) ∕ n(S) = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2。答 3/6 或 0.5 也算對，但習慣上要約到最簡分數。
3設 P(A) = 1 ∕ 3，P(B) = 1 ∕ 2，P(A ∩ B) = 1 ∕ 12，求 P(A′) 與 P(A ∪ B)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 2 ∕ 3 (2) 3 ∕ 4
(1) 補集用性質 (3)：P(A′) = 1 − P(A) = 1 − 1 ∕ 3 = 2 ∕ 3。
(2) 聯集用加法定理：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 ∕ 3 + 1 ∕ 2 − 1 ∕ 12。通分成 12 分母：4 ∕ 12 + 6 ∕ 12 − 1 ∕ 12 = 9 ∕ 12 = 3 ∕ 4。注意交集不是 0，所以 A、B 並不互斥，那一項一定要扣。
4有 1000 元紅包 2 袋，500 元紅包 3 袋，任取一袋，求金額的期望值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 700
總共 5 袋，抽到 1000 元的機率是 2 ∕ 5，抽到 500 元的機率是 3 ∕ 5，兩個事件互斥且合起來就是全部，構成樣本空間的一種分割。所以 E = 1000 × 2 ∕ 5 + 500 × 3 ∕ 5 = 400 + 300 = 700 元。期望值 700 元並不是任何一袋的實際金額，它的意思是「一直重複抽下去，平均每次拿到 700 元」。
5擲一公正骰子兩次，觀察點數對，求樣本空間的樣本點個數。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 36
第一次有 6 種結果，第二次也有 6 種，而且兩次互不影響，所以 n(S) = 6 × 6 = 36。每一個樣本點是一個有順序的數對 (第一次, 第二次)，例如 (1, 4) 和 (4, 1) 是兩個不同的樣本點。這 36 個樣本點出現的機會相等，正好可以拿來當古典機率的分母。
6承上題，擲一公正骰子兩次，求點數和為 5 的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ∕ 9
點數和為 5 的事件 A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}，個數 n(A) = 4。所以 P(A) = 4 ∕ 36 = 1 ∕ 9。這題最常見的錯是只寫出 {(1, 4), (2, 3)} 兩種而答 2 ∕ 36——忘了 (1, 4) 和 (4, 1) 是兩個不同的樣本點。既然分母 36 是把順序算進去的，分子也必須把順序算進去，上下要一致。
7從 52 張撲克牌中任取一張，求抽到點數 6 的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ∕ 13
每張牌被抽到的機會相等，n(S) = 52。點數 6 的牌有黑桃 6、紅心 6、方塊 6、梅花 6 共四張，n(A) = 4。所以 P(A) = 4 ∕ 52 = 1 ∕ 13。順帶記一下這副牌的結構：4 種花色 × 13 種點數 = 52 張，抽到某一花色的機率是 13 ∕ 52 = 1 ∕ 4。
8箱中有 3 個紅球與 1 個白球，任取一球，求取到紅球的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ∕ 4
關鍵在於計算機率時，物品應視為相異。3 個紅球雖然看起來一模一樣，仍要當成三顆不同的球，所以 n(S) = 4、n(紅) = 3，P(紅) = 3 ∕ 4。如果把三顆紅球當成同一顆，會誤以為樣本空間只有「紅、白」兩個樣本點而答 1 ∕ 2——但這兩個結果出現的機會並不相等，不能當古典機率的分母。
9擲一公正骰子，設 A = {1, 3, 5}、B = {2, 4, 6}，求 A ∩ B，並判斷 A、B 是否互斥。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) φ（空集合） (2) 是
(1) A 是奇數點，B 是偶數點，一個點數不可能同時是奇數又是偶數，所以交集是空集合 A ∩ B = φ。
(2) 當 A ∩ B = φ，代表 A、B 不會同時發生，依定義就是互斥。此時 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1 ∕ 2 + 1 ∕ 2 = 1，不必扣交集——這也合理，因為擲出來的點數不是奇數就是偶數，必然發生。
10某班 35 人，會游自由式的有 20 人，會游蛙式的有 15 人，兩種都會的有 10 人。今任選一人，已知此人會游自由式，求此人也會蛙式的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ∕ 2
「已知此人會游自由式」這句話把分母換掉了：不再看全班 35 人，只看會自由式的那 20 人。這 20 人裡面同時也會蛙式的有 10 人，所以 P(B | A) = n(A ∩ B) ∕ n(A) = 10 ∕ 20 = 1 ∕ 2。注意不要寫成 10 ∕ 35，那是 P(A ∩ B)，不是條件機率。
11戳戳樂遊戲盒的 12 格中有 5 格有獎。甲、乙兩人依序各戳一格，求甲乙兩人都中獎的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 5 ∕ 33
用乘法定理 P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)。甲中獎的機率是 5 ∕ 12。甲中獎之後，盒子只剩 11 格、有獎的只剩 4 格，所以乙在「甲已中獎」的條件下中獎的機率是 4 ∕ 11。相乘得 5 ∕ 12 × 4 ∕ 11 = 20 ∕ 132 = 5 ∕ 33。分母從 12 變成 11 是這題的重點——戳過的格子不會回來，這是「不放回」。
12承上題，求甲中獎但乙未中獎的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 35 ∕ 132
甲中獎的機率仍是 5 ∕ 12。甲中獎後剩 11 格，其中有獎剩 4 格、沒獎有 7 格，所以乙沒中獎的條件機率是 7 ∕ 11。相乘得 5 ∕ 12 × 7 ∕ 11 = 35 ∕ 132。可以檢查一下：5 ∕ 33 + 35 ∕ 132 = 20 ∕ 132 + 35 ∕ 132 = 55 ∕ 132 = 5 ∕ 12，正好等於「甲中獎」的機率，因為乙不是中就是沒中，兩種情況加起來要還原成甲中獎。
13擲一公正骰子一次，設 A = {1, 3, 5}、B = {1, 6}。求 P(A)、P(B)，並判斷 A、B 是否為獨立事件。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 1 ∕ 2 (2) 1 ∕ 3 (3) 是
P(A) = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2，P(B) = 2 ∕ 6 = 1 ∕ 3。交集 A ∩ B = {1}，所以 P(A ∩ B) = 1 ∕ 6。檢查獨立的判準 P(A ∩ B) = P(A) P(B)：右邊是 1 ∕ 2 × 1 ∕ 3 = 1 ∕ 6，和左邊相等，所以 A、B 是獨立事件。也可以從條件機率看：P(B | A) = 1 ∕ 3 = P(B)，知道「出現奇數點」之後，對「出現 1 或 6 點」的判斷完全沒改變。
14甲、乙兩人在罰球線投籃投進的機率分別為 1 ∕ 5 與 1 ∕ 10。已知兩人各投一球，且兩人投進與否互不影響，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 1 ∕ 50 (2) 13 ∕ 50 (3) 7 ∕ 25
(1) 兩人獨立，直接相乘：1 ∕ 5 × 1 ∕ 10 = 1 ∕ 50。
(2) 恰有一人有兩種情況，要加起來：甲進乙不進 1 ∕ 5 × 9 ∕ 10 = 9 ∕ 50，甲不進乙進 4 ∕ 5 × 1 ∕ 10 = 4 ∕ 50，合計 13 ∕ 50。
(3) 「至少一人」走補集最快：1 − P(兩人都不進) = 1 − 4 ∕ 5 × 9 ∕ 10 = 1 − 36 ∕ 50 = 14 ∕ 50 = 7 ∕ 25。用正面算也行：1 ∕ 50 + 13 ∕ 50 = 14 ∕ 50 = 7 ∕ 25，答案一致但多繞一圈。
15某工廠有甲、乙兩台機器，產量分別占總產量的 2 ∕ 5 與 3 ∕ 5，不良率分別為 4% 與 3%。今任選一產品，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 17 ∕ 500 (2) 8 ∕ 17
(1) 不良品有兩條來源路徑，加起來：2 ∕ 5 × 4 ∕ 100 + 3 ∕ 5 × 3 ∕ 100 = 8 ∕ 500 + 9 ∕ 500 = 17 ∕ 500。
(2) 這是貝氏定理——倒過來問來源。分母就是 (1) 算出來的不良品全部，分子只留甲那一條：P(甲 | 不良) = (8 ∕ 500) ∕ (17 ∕ 500) = 8 ∕ 17。注意 8 ∕ 17 ≈ 0.47 比甲的產量比例 2 ∕ 5 = 0.4 大，因為甲的不良率比乙高，所以不良品裡甲要「多背一點責任」。
16過去三年來，金塊隊與湖人隊例行賽對戰 12 場，金塊隊勝 9 場，湖人隊勝 3 場。求金塊隊每場比賽獲勝的客觀機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ∕ 4
客觀機率是根據統計數據或過去經驗而得的機率：9 ∕ 12 = 3 ∕ 4。要記得客觀機率並非是個不變的機率——再打幾場，勝場數變了，這個機率就跟著變。這一點和古典機率不同：擲公正骰子出現 6 點的機率永遠是 1 ∕ 6，不會因為你今天手氣好就改變。
17某班 35 位同學中，男生 20 位其中數學及格 15 位，女生 15 位其中數學及格 8 位。任選一人，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 23 ∕ 35 (2) 3 ∕ 4
先把列聯表補完：男生及格 15、不及格 5，合計 20；女生及格 8、不及格 7，合計 15；及格總和 15 + 8 = 23，不及格總和 5 + 7 = 12，全班 35。
(1) 分母是全班：P(及格) = 23 ∕ 35。
(2) 「已知是男生」把分母換成男生那一列的 20：P(及格 | 男生) = 15 ∕ 20 = 3 ∕ 4。順帶一提 3 ∕ 4 ≠ 23 ∕ 35，所以性別和及格與否不獨立；用比例檢查也一樣：男生 15 : 5 = 3 : 1，女生 8 : 7，兩列比例不同。
1850 歲成年人存活一年的機率為 0.9998。某保險公司推出一年期人壽保險，投保人若在一年內死亡可獲理賠金 200 萬元，否則不予理賠，保費 2400 元。求保險公司這份保單的期望值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2000
站在保險公司的立場算。保費 2400 元無論如何都收得到，所以兩種情況都要算進去；理賠金只在死亡時付出，記成負的。死亡機率是 1 − 0.9998 = 0.0002。
E = 2400 × 0.0002 + (−2000000 + 2400) × 0.9998 = 2400 − 2000000 × 0.9998 = 2400 − 400 = 2000 元。答案是正的，代表這份保單長期而言對保險公司有利。如果把 E 調成 0，這份保單就是「公平的」。
進階依同章範圍另外編寫的十題
1擲兩顆公正骰子，求點數和為 7 或 11 的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2 ∕ 9
n(S) = 36。點數和 7 的有 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 共 6 種；點數和 11 的有 (5,6), (6,5) 共 2 種。這兩個事件互斥（點數和不可能同時是 7 又是 11），所以直接相加不用扣交集：P = (6 + 2) ∕ 36 = 8 ∕ 36 = 2 ∕ 9。
2一袋中有 5 個紅球與 3 個白球，不放回連取兩球，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 13 ∕ 28 (2) 25 ∕ 28
不放回連取兩球、不管先後，用組合數當分母：n(S) = C₂⁸ = 28。
(1) 同色分兩種互斥情況：兩紅 C₂⁵ = 10，兩白 C₂³ = 3，合計 13 種，所以 P = 13 ∕ 28。
(2) 「至少一紅」的反面是「一顆紅的都沒有」，也就是兩顆都白：3 ∕ 28。所以 P = 1 − 3 ∕ 28 = 25 ∕ 28。正面算要處理「恰一紅」加「兩紅」兩種情況，走補集只要算一種。
3設 P(A) = 0.6，P(B) = 0.5，P(A ∪ B) = 0.8，求 P(A ∩ B) 與 P(B | A)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 0.3 (2) 1 ∕ 2
(1) 把加法定理反過來用：P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 − 0.8 = 0.3。
(2) 條件機率的定義式：P(B | A) = P(A ∩ B) ∕ P(A) = 0.3 ∕ 0.6 = 1 ∕ 2。順帶檢查獨立性：P(A)P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.3 = P(A ∩ B)，所以 A、B 其實是獨立事件，這也解釋了為什麼 P(B | A) = 0.5 = P(B)。
4三人各自獨立射擊同一目標，命中率分別為 1 ∕ 2、1 ∕ 3、1 ∕ 4。求目標至少被命中一次的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ∕ 4
「至少一次」正面算要分成恰一人、恰兩人、三人都中共七種情況，太麻煩。走補集：三人都沒中的機率是 (1 − 1 ∕ 2)(1 − 1 ∕ 3)(1 − 1 ∕ 4) = 1 ∕ 2 × 2 ∕ 3 × 3 ∕ 4 = 6 ∕ 24 = 1 ∕ 4。所以至少命中一次的機率是 1 − 1 ∕ 4 = 3 ∕ 4。三人各自獨立，所以三個未命中的事件也互相獨立，可以直接相乘。
5從 1 到 10 中任取一數，設 A 為「取到偶數」、B 為「取到 3 的倍數」。求 P(A ∪ B)，並判斷 A、B 是否獨立。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 7 ∕ 10 (2) 否
A = {2, 4, 6, 8, 10}，P(A) = 5 ∕ 10 = 1 ∕ 2；B = {3, 6, 9}，P(B) = 3 ∕ 10；A ∩ B = {6}，P(A ∩ B) = 1 ∕ 10。
(1) P(A ∪ B) = 1 ∕ 2 + 3 ∕ 10 − 1 ∕ 10 = 5 ∕ 10 + 3 ∕ 10 − 1 ∕ 10 = 7 ∕ 10。
(2) 檢查 P(A)P(B) = 1 ∕ 2 × 3 ∕ 10 = 3 ∕ 20，但 P(A ∩ B) = 1 ∕ 10 = 2 ∕ 20，兩者不相等，所以不獨立。如果範圍改成 1 到 12，P(A) = 1 ∕ 2、P(B) = 1 ∕ 3、P(A ∩ B) = 2 ∕ 12 = 1 ∕ 6，就會變成獨立——範圍能不能被 6 整除是關鍵。
6擲一公正硬幣 4 次，求恰好出現 2 次正面的機率。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3 ∕ 8
丟 4 次的樣本空間有 2⁴ = 16 個樣本點，每個機會相等。恰好 2 次正面，等於從 4 個位置中挑 2 個放正面，共 C₂⁴ = 6 種。所以 P = 6 ∕ 16 = 3 ∕ 8。這題把第六章的組合數接了進來：分母用乘法原理，分子用組合，是這一章最常見的組合題型。
7某遊戲規則為擲一公正骰子，出現 6 點可得 60 元，其餘不得分，但每玩一次須付入場費 x 元。若此遊戲為公平的，求 x。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 10
「公平的遊戲」定義是期望值為 0。站在玩家的立場：出現 6 點的機率是 1 ∕ 6，淨得 60 − x 元；其餘 5 種點數的機率是 5 ∕ 6，淨得 −x 元。
E = (60 − x) × 1 ∕ 6 + (−x) × 5 ∕ 6 = 10 − x ∕ 6 − 5x ∕ 6 = 10 − x。令 E = 0 得 x = 10。也可以直接想：獎金的期望值是 60 × 1 ∕ 6 = 10 元，入場費收剛好 10 元就不賺不賠。
8甲袋有 3 紅 2 白，乙袋有 2 紅 4 白。先擲一公正硬幣，正面取甲袋、反面取乙袋，再從該袋中任取一球。求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 7 ∕ 15 (2) 9 ∕ 14
{甲袋, 乙袋} 是樣本空間的一種分割，各佔 1 ∕ 2。
(1) 兩條路徑加起來：P(紅) = 1 ∕ 2 × 3 ∕ 5 + 1 ∕ 2 × 2 ∕ 6 = 3 ∕ 10 + 1 ∕ 6。通分成 30：9 ∕ 30 + 5 ∕ 30 = 14 ∕ 30 = 7 ∕ 15。
(2) 貝氏定理，分母是 (1)、分子留甲那一條：P(甲 | 紅) = (3 ∕ 10) ∕ (7 ∕ 15) = 3 ∕ 10 × 15 ∕ 7 = 45 ∕ 70 = 9 ∕ 14。甲袋原本只佔一半，但因為甲袋紅球比例高，看到紅球之後「它來自甲袋」的機率就被拉高到 9 ∕ 14 ≈ 0.64。
9某班列聯表中，男生數學及格 12 人、不及格 8 人；女生及格 9 人、不及格 6 人。判斷性別與數學及格與否是否為獨立事件。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 是
用列聯表的獨立性質 a : b = c : d 檢查。男生 a : b = 12 : 8 = 3 : 2，女生 c : d = 9 : 6 = 3 : 2，兩列比例相同，所以獨立。
也可以用交叉相乘：a × d = 12 × 6 = 72，b × c = 8 × 9 = 72，相等。或用機率驗證：全班 35 人，及格 21 人，P(及格) = 21 ∕ 35 = 3 ∕ 5；P(及格 | 男生) = 12 ∕ 20 = 3 ∕ 5，兩者相等，知道性別對及格率沒有任何影響。
10袋中有 4 個紅球與 6 個白球，一次取出 3 球，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 3 ∕ 10 (2) 6 ∕ 5（＝ 1.2）
n(S) = C₃¹⁰ = 120。
(1) 恰 2 紅表示 2 紅 1 白：C₂⁴ × C₁⁶ = 6 × 6 = 36，所以 P = 36 ∕ 120 = 3 ∕ 10。
(2) 先算紅球個數 0、1、2、3 的機率：C₃⁶ ∕ 120 = 20 ∕ 120、C₁⁴C₂⁶ ∕ 120 = 60 ∕ 120、36 ∕ 120、C₃⁴ ∕ 120 = 4 ∕ 120，四者相加正好是 1，構成一種分割。期望值 E = (0 × 20 + 1 × 60 + 2 × 36 + 3 × 4) ∕ 120 = 144 ∕ 120 = 6 ∕ 5 = 1.2。有個更快的想法：每一顆取出的球是紅球的機率都是 4 ∕ 10，取 3 顆，期望值就是 3 × 4 ∕ 10 = 6 ∕ 5。
好學範例影片
原文章附的五支好學範例，取材自龍騰學測數 A 好好學複習講義例題。習題卡住的時候，可以先看對應的這一支。
影片來源 五支影片皆為老王看世界頻道發布於乾淨世界的內容，這裡以原站嵌入播放器呈現。