數列級數

正確答案　3, 5, 7, 9, 11

⟨2n + 1⟩ 是一般項的寫法，意思是把 n 依序代 1, 2, 3, 4, 5 進去：2(1) + 1 = 3、2(2) + 1 = 5、2(3) + 1 = 7、2(4) + 1 = 9、2(5) + 1 = 11。注意 n 是項數，一定從 1 開始代，不是從 0 開始。算出來的這一排每一項都差 2，正好也是一個公差為 2 的等差數列。

正確答案　aₙ = 3n − 1

首項 a₁ = 2，公差 d = 5 − 2 = 3。套一般項公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d = 2 + (n − 1)(3) = 2 + 3n − 3 = 3n − 1。驗算一下：n = 1 得 2、n = 2 得 5、n = 3 得 8，全部對得上。展開之後一定要整理成最簡形式，這樣後面代數字才不會出錯。

正確答案　aₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹

首項 a₁ = 2，公比 r = 6 ∕ 2 = 3。套等比一般項公式 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹ = 2 × 3ⁿ⁻¹。驗算：n = 1 時 3⁰ = 1，得 2；n = 3 時 3² = 9，得 18，對得上。指數是 n − 1 不是 n，因為從第 1 項走到第 n 項只乘了 n − 1 次公比。

正確答案　2, 6, 12, 20

遞迴式要一項一項往下算，不能跳。a₁ = 2 是題目給的。a₂ = a₁ + 2(2) = 2 + 4 = 6。a₃ = a₂ + 2(3) = 6 + 6 = 12。a₄ = a₃ + 2(4) = 12 + 8 = 20。每一步加的量不一樣（4、6、8），所以這不是等差數列——只要遞迴式裡出現 n，加的量就會隨項數改變。算的時候把 n 代成「正在算第幾項」是最容易錯的地方，算 a₃ 時 n 要代 3。

正確答案　155

求等差級數要先知道有幾項。首項 2、公差 3、末項 29，代進 aₙ = a₁ + (n − 1)d：29 = 2 + (n − 1)(3)，解得 n − 1 = 9、n = 10，共 10 項。再用「項數 × (首 + 末) ∕ 2」：10 × (2 + 29) ∕ 2 = 10 × 31 ∕ 2 = 155。這類題目九成的錯誤都出在項數上，先把 n 算出來再求和。

正確答案　254

一樣先找項數。首項 2、公比 2、末項 128，代進 aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹：128 = 2 × 2ⁿ⁻¹，也就是 2ⁿ = 128 = 2⁷，所以 n = 7。再用等比級數公式 Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ∕ (1 − r) = 2(1 − 2⁷) ∕ (1 − 2) = 2(−127) ∕ (−1) = 254。也可以直接把 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 加起來驗證，答案一樣。

正確答案　(1) 190　(2) 1240　(3) 6084

三條公式直接套。(1) n(n + 1) ∕ 2，n = 19：19 × 20 ∕ 2 = 190。(2) 平方和公式 n(n + 1)(2n + 1) ∕ 6，n = 15：15 × 16 × 31 ∕ 6 = 7440 ∕ 6 = 1240。(3) 立方和公式 [n(n + 1) ∕ 2]²，n = 12：先算 12 × 13 ∕ 2 = 78，再平方得 6084。第三題也可以用那個巧合來記：立方和就是「前 n 個正整數的和」再平方。

正確答案　10000 × 1.02⁶ ≈ 11261.6 元

複利的意思是「利息也會再生利息」，所以每過一個月本利和就變成前一個月的 1.02 倍。這剛好是一個公比 r = 1.02 的等比數列：一個月後 10000 × 1.02、兩個月後 10000 × 1.02²、…、6 個月後 10000 × 1.02⁶ = 10000 × 1.126162… ≈ 11261.6 元。如果是單利，利息就只算本金的部分，6 個月是 10000 × 2% × 6 = 1200，要還 11200 元——複利多出來的 61.6 元，就是「利息生的利息」。

正確答案　(1) 3　(2) 1　(3) 58

從第 3 項走到第 7 項走了 4 步，總共增加 19 − 7 = 12，所以每一步 d = 12 ∕ 4 = 3。再從 a₃ 往回退兩步得首項：a₁ = 7 − 2(3) = 1。最後 a₂₀ = a₁ + 19d = 1 + 19(3) = 58。這裡有一個通用的做法：任兩項之間 aₘ 與 aₙ 滿足 aₘ − aₙ = (m − n)d，把兩個已知項相減就能直接把 d 逼出來，不必先解聯立方程式。

正確答案　(1) 5　(2) 6　(3) 59

從 Sₙ 反推 aₙ 只有一招：aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁。先算 a₁ = S₁ = 3(1)² + 2(1) = 5。再算一般項：Sₙ − Sₙ₋₁ = (3n² + 2n) − [3(n − 1)² + 2(n − 1)] = (3n² + 2n) − (3n² − 6n + 3 + 2n − 2) = 6n − 1。所以 d = 6（一般項是 n 的一次式，n 的係數就是公差），a₁₀ = 6(10) − 1 = 59。最後檢查 n = 1 代進 6n − 1 得 5，和 S₁ 一致，這一步一定要做，因為 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 只在 n ≥ 2 時才成立。

正確答案　(1) 2　(2) 3　(3) 189

等比數列相除，公比會被逼出來：a₅ ∕ a₂ = r³ = 48 ∕ 6 = 8，所以 r = 2。首項 a₁ = a₂ ∕ r = 6 ∕ 2 = 3。前 6 項和用公式 S₆ = a₁(1 − r⁶) ∕ (1 − r) = 3(1 − 64) ∕ (1 − 2) = 3(−63) ∕ (−1) = 189。等差用「相減」找 d、等比用「相除」找 r，這是兩種數列最核心的對照。

正確答案　(1) 5　(2) 2　(3) 3，三數為 3, 5, 7

三個數成等差，最聰明的設法是 a − d、a、a + d，因為相加時 d 會自己消掉：(a − d) + a + (a + d) = 3a = 15，所以 a = 5，中間那一項馬上就出來了。再代乘積：(5 − d)(5)(5 + d) = 105，兩邊除以 5 得 25 − d² = 21，所以 d² = 4、d = ±2。取正的排出來是 3, 5, 7，取負的是 7, 5, 3，其實是同一組數，所以最小的數是 3。凡是「三個數成等差」的題目都用這個對稱設法，可以省掉一整條聯立方程式。

正確答案　(1) 1　(2) 2k + 1　(3) 100

(1) n = 1 時左邊只有一項 2(1) − 1 = 1，右邊是 1² = 1，兩邊相等，第一塊骨牌倒下。(2) 一般項是 2n − 1，把 n 換成 k + 1 得 2(k + 1) − 1 = 2k + 1，這就是從 k 走到 k + 1 時新加進來的那一項。接著在假設 1 + 3 + … + (2k − 1) = k² 之下，左邊變成 k² + (2k + 1) = (k + 1)²，正好是 n = k + 1 時的右邊，所以推得下去。(3) 19 = 2n − 1 得 n = 10，所以總和是 10² = 100。這條式子在說一件很漂亮的事：前 n 個奇數加起來，剛好是一個完全平方數。

正確答案　(1) 1　(2) 0.618　(3) 0.809

(1) 黃金比例的定義式整理出來就是 φ² − φ − 1 = 0，所以 φ² − φ = 1，不必真的把根號代進去算。(2) 由 φ² − φ = 1 兩邊同除以 φ 得 φ − 1 = 1 ∕ φ，所以 1 ∕ φ = 1.618… − 1 = 0.618…，也就是 (√5 − 1) ∕ 2。黃金比例最有名的性質就在這裡：它的倒數等於它自己減 1。(3) 邊長為 1 的正五邊形，對角線長恰為 φ，由此可推得 cos 36° = φ ∕ 2 = (1 + √5) ∕ 4 ≈ 0.809。

正確答案　0.64 公尺

三角形 NBC 與三角形 NOP 相似（共用角 N，而且 BC 與 OP 都垂直地面），所以對應邊成比例：BC ∕ OP = NC ∕ NP。代入數字得 BC ∕ 1.6 = 2 ∕ 5，所以 BC = 1.6 × 2 ∕ 5 = 0.64 公尺。比例式寫下去之前先確認誰對應誰：分子都要是「靠近畫布」的那一組，分母都要是「整段」的那一組，對錯位置答案就會反過來。