互動座標紙
拉四個係數滑桿，正弦曲線即時重繪，紅筆自動標出最高點與最低點。
y = sin(x)
自己驗一次 只拉 b，從 1 拉到 2。浪的高度完全沒變，但同樣寬的畫面裡塞進了兩倍的浪——週期 T = 2π ∕ |b| 被砍半了。振幅和週期是兩件不相干的事，這樣拉一次就不會再搞混。
觀念實驗室
三角函數的觀念不是背出來的，是轉一圈看出來的。左邊的點沿著單位圓走，右邊的波同步長出來——它們本來就是同一件事。
點上面四顆換算鈕，綠點會走到對應位置，這裡直接把兩邊的值列出來給你比。
自己驗一次 把 θ 拉過 90°。sin 還在往上撐、cos 已經翻成負的——「第二象限 sin 正、cos 負」不是誰規定的，是點跑到左半邊去了。再往下拉過 180°，兩個一起變負，第三象限只剩 tan 是正的。
觀念速查表
依課本章節順序整理，點開看公式。上面的單位圓可以隨時回去驗證每一條。
三角比的基本關係式
高一下
倒數關係：cscθ = 1 / sinθ secθ = 1 / cosθ cotθ = 1 / tanθ商數關係：tanθ = sinθ / cosθ cotθ = cosθ / sinθ平方關係：sin²θ + cos²θ = 1 1 + tan²θ = sec²θ 1 + cot²θ = csc²θ
平方關係不用背。單位圓上那個點的坐標就是 (cosθ, sinθ)，而圓的方程式是 x² + y² = 1，代進去就是它。另外兩條把整條式子除以 cos²θ 或 sin²θ 就出來了。
廣義角與象限的正負
高一下
把角從銳角放大到任何角度：從 x 軸正向逆時針轉是正角，順時針轉是負角，終邊落在哪一象限，就決定了三個值的正負。
| 象限 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 第一 | ＋ | ＋ | ＋ |
| 第二 | ＋ | － | － |
| 第三 | － | － | ＋ |
| 第四 | － | ＋ | － |
一句話記法：一全正、二 sin、三 tan、四 cos。看不懂就把上面的滑桿拉到那一象限，看紅色投影朝哪邊。
四組換算公式
高一下
sin(180° − x) = sin x cos(180° − x) = −cos xsin(180° + x) = −sin x cos(180° + x) = −cos xsin(−x) = −sin x cos(−x) = cos xsin(90° − x) = cos x cos(90° − x) = sin x
前三組是鏡射：對 y 軸、對原點、對 x 軸。第四組是把整個直角三角形轉 90°，對邊變鄰邊，所以 sin 和 cos 互換。上面四顆按鈕會把 P′ 畫給你看。
弧度量、弧長與扇形面積
高二上
π 弳 = 180° 1 弳 = 180 / π ≈ 57.3°弧長：s = rθ （θ 用弧度）扇形面積：A = ½ r²θ = ½ rs
弧度不是另一套單位，它就是「這段弧有幾個半徑長」。半徑 1 的圓走一整圈弧長 2π，所以一圈就是 2π 弳。弧長和面積公式只有在用弧度時才這麼乾淨，代角度會錯。
極坐標與直線的斜角
高一下
直角坐標 →極坐標：r = √(x² + y²) tanθ = y / x極坐標 → 直角坐標：x = r cosθ y = r sinθ直線斜率：m = tanα （α 為斜角，0° ≤ α < 180°）
上面的單位圓就是 r = 1 的極坐標。把 r 從 1 換成任意長度，(cosθ, sinθ) 就變成 (r cosθ, r sinθ)——形狀一樣，只是放大。
三角形：面積、正弦定理、餘弦定理
高一下
面積 = ½ ab sin C正弦定理：a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R （R 為外接圓半徑）餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab cos C海龍公式：s = (a + b + c) / 2，面積 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
怎麼選：兩邊夾一角、或三邊求角，用餘弦定理；有一組「邊與其對角」配好了，用正弦定理。餘弦定理裡 C = 90° 時 cos C = 0，整條式子就退回畢氏定理。
正弦、餘弦、正切函數的圖形
高二上
| 函數 | 週期 | 值域 | 對稱 | 零點／漸近線 |
|---|---|---|---|---|
| y = sin x | 2π | [−1, 1] | 奇函數 | 零點 x = kπ |
| y = cos x | 2π | [−1, 1] | 偶函數 | 零點 x = π/2 + kπ |
| y = tan x | π | 全體實數 | 奇函數 | 漸近線 x = π/2 + kπ |
y = a sin(bx + c) + d：振幅 |a|、週期 2π / |b|、相位移 −c / b、上下平移 d
最後這條就是下面座標紙那四個滑桿在做的事。tan 的週期是 π 不是 2π，因為它是 sin / cos，兩個一起變號就抵消掉了。
和差角、倍角與半角公式
高二上
sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinBcos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)倍角：sin2A = 2 sinA cosA cos2A = cos²A − sin²A = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1 tan2A = 2 tanA / (1 − tan²A)半角：sin²(A/2) = (1 − cosA) / 2 cos²(A/2) = (1 + cosA) / 2
倍角就是和角裡 B 換成 A。cos2A 三種寫法要挑：題目給 sinA 就用 1 − 2sin²A，給 cosA 就用 2cos²A − 1，省一步換算。注意 cos 和角的號是相反的（差角才變加），這是最常掉的分。
疊合與最大最小值
高二上
a sin x + b cos x = √(a² + b²) sin(x + φ)其中 cosφ = a / √(a² + b²) sinφ = b / √(a² + b²)最大值 √(a² + b²) 最小值 −√(a² + b²)
兩個同週期的波加起來，還是同一個週期的波，只是變高、往旁邊挪了一點。所以求最大最小值不必微分，把 √(a² + b²) 算出來就是答案——前提是 x 可以取到所有值。
記憶軸
歌詞四句，一句一顆節點。點下去，上面的座標紙會跳到那一句描述的形狀。
歌詞待補 四顆節點的機制已經可以用。等歌詞確認可公開，換掉上面四行字即可。
用歌記
公式寫成歌，男聲女聲兩版，挑自己順耳的那個。
音檔待老王確認可公開後上架。
同一段歌詞的另一個聲線，兩版給選擇權。
三角函數卡住，常常是弧度與角度的換算還沒轉過來。補救連結會指回三角比。
隨堂三題
答完立刻給解釋。解釋會叫你回到上面的座標紙自己驗一次。
第一題 y = 3sin(2x) 的週期是多少？
週期只看 b：T = 2π ∕ |b| = 2π ∕ 2 = π。前面那個 3 是振幅，它只管浪多高，不管浪多密。回上面把 a 拉到 3、b 拉到 2，紅筆會直接把週期算給你看。
第二題 y = sin(x) + 2 的中線在哪裡？
常數項 d 把整條曲線垂直平移，中線就跟著跑到 y = d。最大值變成 3、最小值變成 1，但上下擺動的幅度還是 1。回上面只拉 d，看整片海怎麼一起浮起來。
第三題 把 c 從 0 改成正的，圖形會怎麼動？
水平相位移是 −c ∕ b。c 變正、b 是正的時候，這個值是負的，所以往左移——這是很多人會反過來記的地方。與其死背，不如回上面拉一次 c，看紅筆標的極大點往哪邊跑。
本週任務單
提問、檢索、驗證、產出。做完交回來的東西，就是你自己的理解。
- 提問
找一個會規律重複的量（潮汐、氣溫、心跳都可以），寫成一句問句。
- 檢索
查它一段時間的數據，畫成折線圖，標出你認為的一個完整週期。
- 驗證
回到上面的座標紙，調四個係數去逼近那條折線，記下你用的數字。
- 產出
用一句話說明：你的例子裡，振幅和週期分別代表現實中的什麼。
繳交任務單
習題：基本與進階
題目出自老王看世界〈108課綱學測數學總複習 第九章 三角函數〉的習題，依難度分成兩組。可以直接在格子裡填答按「檢查答案」，用符號鍵盤按出根號與度數，也可以把手寫算式拍照、或整份 PDF 上傳自己對照。
三種寫法都收 答案可以寫 √3/2，也可以寫 根號3/2 或小數 0.866，系統會自己換算。答錯會直接把正確答案和解法攤開給你看。
基本15 題 三角比 · 象限角 · 化簡
1如下圖，直角三角形 ABC 中直角在 B、∠A = 60°，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) √3/2 (2) 1/2 (3) √3
60° 的直角三角形是「1 : √3 : 2」的邊長比。對邊 √3、鄰邊 1、斜邊 2，sin 是對比斜、cos 是鄰比斜、tan 是對比鄰，代進去就出來了。
2已知 0° < θ < 90°，且 sinθ − cosθ = 1/5，求：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 12/25 (2) 7/5
把 sinθ − cosθ = 1/5 兩邊平方：1 − 2sinθcosθ = 1/25，所以 sinθcosθ = 12/25。再看 (sinθ + cosθ)² = 1 + 2sinθcosθ = 49/25；因為 0° < θ < 90° 兩個值都是正的，取正根得 7/5。
3小明在距離巴黎鐵塔 300 公尺處的地面 A 點，測得塔頂 C 的仰角為 60°，求塔高。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 300√3 ≈ 519.6 公尺
仰角的對邊是塔高、鄰邊是水平距離，所以用 tan。塔高 = 300 × tan60° = 300√3 ≈ 519.6 公尺。
4下列各角度為第幾象限角？（填一、二、三、四或 1～4）
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 第一 (2) 第二 (3) 第三 (4) 第四
照著轉一圈分：0°~90° 第一象限、90°~180° 第二象限、180°~270° 第三象限、270°~360° 第四象限。
5下列哪些為 30° 的同界角？（可複選）
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (3) 390° 與 (4) −330°
同界角就是差 360° 的整數倍。390° = 30° + 360°、−330° = 30° − 360°，這兩個轉完都停在同一個位置。−30° 和 60° 都不是。
6求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 1/2 (2) −√3/2 (3) −√3/3
150° 在第二象限，參考角是 30°。第二象限只有 sin 是正的，cos 和 tan 都要加負號。
7求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −1/2 (2) −√3/2 (3) √3/3
210° 在第三象限，參考角是 30°。第三象限只有 tan 是正的，sin 和 cos 都是負的。
8求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −1/2 (2) √3/2 (3) −√3/3
330° 在第四象限，參考角是 30°。第四象限只有 cos 是正的。
9求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −√2/2 (2) √2/2 (3) −1
−45° 就是 315°，落在第四象限，參考角 45°。第四象限 cos 正、sin 與 tan 負。
10求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) −1 (2) 0 (3) 不存在
270° 落在 y 軸負向，單位圓上的座標是 (0, −1)，所以 sin = −1、cos = 0。tan = y ∕ x，分母是 0，所以 tan270° 不存在。
11求三角比：
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (1) 0 (2) 1 (3) 0
0° 落在 x 軸正向，單位圓上的座標是 (1, 0)。sin 取 y 得 0、cos 取 x 得 1、tan = 0 ∕ 1 = 0。
12已知 cos(−θ) = cosθ，求 cos(−30°)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 √3/2
cos 是偶函數，負號進去不影響：cos(−30°) = cos30° = √3/2。
13已知 cos(180° − θ) = −cosθ，求 cos150°。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 −√3/2
cos150° = cos(180° − 30°) = −cos30° = −√3/2。
14已知 cos(180° + θ) = −cosθ，求 cos210°。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 −√3/2
cos210° = cos(180° + 30°) = −cos30° = −√3/2。
15已知 cos(360° + θ) = cosθ，求 cos420°。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1/2
cos420° = cos(360° + 60°) = cos60° = 1/2。轉滿一圈等於沒轉，這就是週期 360° 的意思。
進階18 題 斜率 · 極座標 · 正弦與餘弦定理 · 和角與疊合
16若直線的斜角為 60°，求直線斜率 m。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 √3
斜率就是斜角的正切：m = tan60° = √3。
17有一點直角坐標為 (√3, 1)，求它的極座標 [r, θ]。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 [2, 30°]
r = √((√3)² + 1²) = √4 = 2；tanθ = 1 ∕ √3 且點在第一象限，所以 θ = 30°。極座標是 [2, 30°]。
18有一點極坐標為 [6, 60°]，求它的直角坐標 (x, y)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (3, 3√3)
x = r·cosθ = 6cos60° = 3，y = r·sinθ = 6sin60° = 3√3。直角座標是 (3, 3√3)。
19有一根棍子長 8 公分，與地面夾角 60°，求棍子在地面的正射影長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 4 公分
影子是投影到地面、貼的是鄰邊，所以用 cos 不是 sin：正射影長 = 8cos60° = 4 公分。
20△ABC 中，∠A = 60°、b = 4、c = 8，求 △ABC 面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 8√3
夾角就在兩邊之間，直接用面積公式：½ · b · c · sinA = ½ · 4 · 8 · sin60° = 16 · (√3/2) = 8√3。
21△ABC 中，∠A = 45°、∠C = 60°、BC = 3√2，求 AB 長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3√3
兩角一對邊，用正弦定理：BC ∕ sinA = AB ∕ sinC。3√2 ∕ sin45° = 6，所以 AB = 6 · sin60° = 3√3。
22△ABC 中，∠A = 60°、BC = 4√3，求 △ABC 的外接圓半徑。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 4
正弦定理的完整型：BC ∕ sinA = 2R。4√3 ∕ (√3/2) = 8 = 2R，所以外接圓半徑 R = 4。
23△ABC 中，∠A = 45°、AC = 4√2、AB = 6，求 BC 長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 2√5
兩邊夾一角求第三邊，用餘弦定理：BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cosA = 36 + 32 − 2·6·4√2·(√2/2) = 68 − 48 = 20，所以 BC = 2√5。
24已知 △ABC 的三邊長為 5、6、7，求最大角的餘弦值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1/5
最大角一定對著最長邊，也就是對邊 7。餘弦定理反過來用：cos = (5² + 6² − 7²) ∕ (2·5·6) = 12 ∕ 60 = 1/5。
25△ABC 中三邊長 a = 7、b = 8、c = 5，求 cos C 與 △ABC 的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 cos C = 11/14；面積 = 10√3
先用餘弦定理求夾在 a、b 之間的角 C：cos C = (7² + 8² − 5²) ∕ (2·7·8) = 88 ∕ 112 = 11/14。
再用平方關係求 sin C：sin C = √(1 − (11/14)²) = √(75 ∕ 196) = 5√3 ∕ 14。面積用兩邊夾一角的公式：½ · 7 · 8 · (5√3 ∕ 14) = 10√3。
面積題先看給了什麼：給兩邊夾一角就用 ½ab sin C；給三邊就先餘弦定理求出夾角，或直接用海龍公式。這一題兩條路都通，海龍公式算出來一樣是 10√3。
26△ABC 中 ∠A = 30°、a = 5、b = 5√3，求 sin B 與外接圓半徑 R。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 sin B = √3/2；R = 5
正弦定理 a ∕ sin A = b ∕ sin B = 2R。由前兩項：sin B = b sin A ∕ a = 5√3 × ½ ∕ 5 = √3 ∕ 2。
外接圓半徑用最後那一項：2R = a ∕ sin A = 5 ∕ ½ = 10，所以 R = 5。
正弦定理最後那個 2R 常被忽略，它是這個定理裡唯一能一步算出外接圓的地方。另外 sin B = √3/2 對應 B = 60° 或 120°，兩個都成立——這一章的陷阱幾乎都藏在這個「兩解」上。
27用和角公式求 sin 75° 與 cos 75° 的值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 sin75° = (√6 + √2)/4；cos75° = (√6 − √2)/4
把 75° 拆成兩個查得到的角：75° = 45° + 30°。
sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2∕2)(√3∕2) + (√2∕2)(1∕2) = (√6 + √2) ∕ 4。
cos(45° + 30°) = cos45°cos30° − sin45°sin30° = (√6 − √2) ∕ 4。
cos 的和角公式中間是減號，sin 才是加號——這是最常記反的一組。用「sin 同號、cos 反號」六個字記住它。
28已知 sin θ = 3/5，且 θ 在第二象限，求 cos θ、tan θ 與 sin 2θ。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 cos θ = −4/5；tan θ = −3/4；sin 2θ = −24/25
由 sin²θ + cos²θ = 1 得 cos θ = ±4/5。第二象限的 cos 為負，取 cos θ = −4/5，於是 tan θ = (3/5) ∕ (−4/5) = −3/4。
倍角公式：sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 × (3/5) × (−4/5) = −24/25。
平方關係只給你「大小」，象限才給你「正負號」。看到象限條件就先在心裡畫一次 ASTC：第二象限只有 sin 是正的。
29在地面上一點 A 測得塔頂的仰角為 30°，朝塔底方向前進 60 公尺到 B 點，測得塔頂仰角變為 60°。求塔高 h（公尺）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 30√3 公尺（約 51.96 公尺）
設塔底為 O。在兩個直角三角形裡分別寫出水平距離：AO = h ∕ tan30° = √3 h，BO = h ∕ tan60° = h ∕ √3。
兩段水平距離相差就是走過的 60 公尺：√3 h − h∕√3 = 60，通分得 (2h) ∕ √3 = 60，所以 h = 30√3。
三角測量題一律先畫圖、把未知的高設成 h，再用「同一段水平距離」或「同一段高」把兩個三角形接起來。另一條路是看 △ABC：∠A = 30°、外角 60° 表示 ∠ACB = 30°，所以 BC = AB = 60，再取 h = 60 sin60° = 30√3，更快。
30求 f(x) = 3 sin x + 4 cos x 的最大值與最小值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 最大值 5；最小值 −5
把兩個同週期的波疊合成一個波：a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ)。這裡 √(3² + 4²) = 5，所以 f(x) = 5 sin(x + φ)，其中 φ 滿足 cos φ = 3/5、sin φ = 4/5。
因為 sin 的值域是 [−1, 1]，所以 f(x) 的最大值是 5、最小值是 −5。
疊合的關鍵只有一件事：振幅是 √(a² + b²)，跟相位差 φ 是多少無關。題目若只問最大最小，算完根號就可以收工。
31設 θ 為銳角，求 sin(180° − θ) ∕ sin θ + cos(180° + θ) ∕ cos θ 的值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 0
用廣義角的化簡公式：sin(180° − θ) = sin θ，cos(180° + θ) = −cos θ。
代回去：sin θ ∕ sin θ + (−cos θ) ∕ cos θ = 1 + (−1) = 0。
化簡廣義角只要兩步：先看角落在第幾象限決定正負號，再看是 180°／360° 這種（函數名不變）還是 90°／270° 這種（sin 換 cos）。180° ± θ 屬於前者，所以名稱都不用換。
32點 P 的直角坐標為 (−1, √3)，求它的極坐標 (r, θ)，其中 r > 0、0° ≤ θ < 360°。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 r = 2；θ = 120°
r = √(x² + y²) = √((−1)² + (√3)²) = √4 = 2。
再看角：tan θ = y ∕ x = √3 ∕ (−1) = −√3。點 (−1, √3) 在第二象限（x 負、y 正），所以取 θ = 120°，不是計算機直接給的 −60°。
極坐標題的分數都掉在角上。先算 r，再用 x、y 的正負號判斷象限，最後才把參考角調到正確的象限——反過來做就會被計算機騙。
33已知 y = 2 sin(3x − π/3) + 1，求它的振幅、週期與最大值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 振幅 2；週期 2π/3；最大值 3
對照標準式 y = A sin(Bx + C) + D：A = 2、B = 3、D = 1。
振幅是 |A| = 2；週期是 2π ∕ |B| = 2π/3；最大值是 D + |A| = 1 + 2 = 3（最小值則是 1 − 2 = −1）。
四個參數各管一件事：A 管高度、B 管快慢、C 管左右移、D 管上下移。B 變大週期會變短，因為它在分母——這一點反直覺，特別容易錯。
三種作答方式 直接在格子裡打字；或用格子下方的「符號鍵盤」按出根號、分數線、度數與圓周率，按一下就填進目前作用中的那一格；或按「拍照或上傳 PDF 作答」，把手寫算式拍成照片、或整份寫好的 PDF 帶上來。檔案只會留在你自己的裝置上，不會傳出去。上傳後這一題的正確答案與解法會直接攤開，讓你對著自己的過程批一次——錯在哪一步，比錯在哪一題更值得知道。
關於進階題 25 到 33 題 前面的進階題 16 到 24 題取自原文章〈108課綱學測數學總複習第九章 三角函數〉的習題區。第 25 題之後這九題，是依照同一章的觀念另外設計的，涵蓋正弦與餘弦定理、三角形面積、三角測量、和角與倍角、疊合的最大最小值、廣義角化簡、極坐標與圖形的四個參數。等原文的題目再補上來，會直接接在後面。