課程地圖 ／ 第十章
平面向量
向量是「有方向的量」。它同時記住兩件事——往哪個方向、走多遠——但不記住從哪裡出發。這一章先把方向與長度變成一組坐標，再用加減、係數積、內積、行列式四種運算把幾何問題翻譯成算式：夾角用內積算、面積用行列式算、交點用克拉瑪公式算。下面每一張圖都可以拉、可以按，先看箭頭動起來，公式就不必硬背。
這一章包含的單元 第三冊 A 單元八平面向量、單元九平面向量的運算、單元十二元一次聯立方程式；第三冊 B 單元六平面向量、單元七平面向量的運算。章節架構與十六節的編排依老王看世界〈108課綱學測數學總複習第十章 平面向量〉整理。
向量的表示法：一支箭頭，兩個數字
向量可以用兩種方式寫下來。幾何表示法把它畫成一支從 A 指到 B 的箭頭，記作 AB；坐標表示法則只留下「橫向走多少、縱向走多少」這兩個數字。兩種寫法講的是同一件事。
幾何表示法：從 A 到 B 的有向線段
以 A 為起點、B 為終點的有向線段記作 AB。它的長度是線段 AB 的長，記作 |AB|；它的方向就是箭頭指的方向。兩個向量相等的條件是長度相等且方向相同——起點在哪裡完全不影響，所以同一個向量可以畫在平面上的任何位置。
坐標表示法：把箭頭翻譯成一組數
把起點放到原點，終點的坐標就是這個向量的坐標。一般地，若 A(a₁, a₂)、B(b₁, b₂)，則 AB = (b₁ − a₁, b₂ − a₂)，也就是終點減起點。長度則由畢氏定理來：|AB| = √(b₁ − a₁)² + (b₂ − a₂)²。拉動下面四個滑桿，看兩個端點怎麼動、坐標與長度怎麼跟著變。
把 A 和 B 一起平移，箭頭的樣子不變、坐標也不變——向量只記錄「移動了多少」，不記錄「從哪裡出發」。
零向量與單位向量 起點與終點重合時得到零向量 0 = (0, 0)，長度為 0、方向不定，並規定它與任何向量平行。長度為 1 的向量叫單位向量；把任一非零向量 a 除以自己的長度，就得到與它同方向的單位向量 a ∕ |a|。
向量的加法與減法：接龍還是補成平行四邊形
兩個向量相加，幾何上有兩種畫法、代數上只有一條規則：坐標各自相加。減法則是「加上相反向量」，也可以直接讀成「從減數的終點指向被減數的終點」。
坐標運算很單純：若 u = (u₁, u₂)、v = (v₁, v₂)，則 u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)，u − v = (u₁ − v₁, u₂ − v₂)。按下面三顆按鈕切換三種畫法，會發現紅色的結果箭頭始終落在同一個地方。
三角形法則：把 v 的起點平移到 u 的終點，從原點連到最後的終點就是 u + v。
兩個常用的變形 AB + BC = AC（接龍，中間的點會消掉）；AB − AC = CB（同起點相減，指向被減數的終點）。考題裡一長串向量相加，通常就是用第一條把中間點一路消掉。
係數積與平行：只改長度，或順便掉頭
把向量乘上一個實數 k，方向要嘛不變、要嘛完全相反，長度則變成 |k| 倍。這件事反過來就是判斷平行的方法。
k a = (ka₁, ka₂)，長度 |k a| = |k| |a|。當 k > 0 同向、k < 0 反向、k = 0 得到零向量。拉動下面的 k，紅色箭頭會一直待在同一條虛線上——這條虛線就是所有與 a 平行的向量的方向。
k > 0：方向和 a 相同，長度變成 |k| 倍。
平行的判定 兩個非零向量 a、b 平行 ⟺ 存在實數 k 使 b = k a ⟺ a₁b₂ − a₂b₁ = 0。最後那個式子就是第七節要講的二階行列式，記一個式子可以用兩次。
線性組合與分點公式：係數和是 1 的那條線
給兩個不平行的向量，平面上任何一個向量都可以寫成它們的組合；而當兩個係數加起來剛好等於 1 時，終點會落在一條特定的直線上。分點公式就是這件事的應用。
線性組合：兩個不平行的向量就能鋪滿整個平面
若 a、b 不平行（也就是 a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0），則平面上任意向量 w 都可以唯一表示成 w = s a + t b。要把 s、t 解出來，做法就是把坐標拆成兩條方程式再解聯立——這正是本章最後幾節要處理的問題。
分點公式：把 t 從 0 拉到 1
設 P 在直線 AB 上，則 OP = (1 − t) OA + t OB，其中兩個係數和恆為 1。t = 0 時 P 在 A，t = 1 時在 B，t = ½ 時在中點。拉動滑桿看 P 怎麼在線段上滑動。
t = 0.5 時 P 是中點：OP = ½(OA + OB)，坐標就是兩點坐標各自取平均。
兩個一定要背的特例 中點：M = ((x₁ + x₂) ∕ 2, (y₁ + y₂) ∕ 2)。三角形重心：G = ((x₁ + x₂ + x₃) ∕ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ∕ 3)，向量寫法是 OG = ⅓(OA + OB + OC)。
內積：兩支箭頭乘出一個數
前面的運算算完還是向量，內積不一樣——兩個向量做內積，得到的是一個實數。這個數同時藏著長度與夾角的資訊，所以整章跟角度有關的題目幾乎都從它出發。
定義與坐標公式
幾何定義：a · b = |a| |b| cos θ，其中 θ 是兩向量的夾角（0° ≤ θ ≤ 180°）。坐標公式：a · b = a₁b₁ + a₂b₂。把兩式併起來就得到求夾角的標準做法：
cos θ = (a₁b₁ + a₂b₂) ∕ (|a| |b|)
順帶一提，a · a = |a|²，這條在計算 |a + b| 時幾乎每次都會用到：|a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|²。
內積為正：夾角是銳角（θ < 90°）。
垂直的判定 兩個非零向量垂直 ⟺ a · b = 0 ⟺ a₁b₁ + a₂b₂ = 0。把上面的滑桿調成 u = (4, 0)、v = (0, 3) 看看：內積歸零，夾角剛好 90°。順著記：平行看行列式、垂直看內積，兩個判定式長得很像但用途相反，別記混了。
正射影與柯西不等式：影子有多長
把一支箭頭的影子投到另一支箭頭的方向上，這個影子就是正射影。它的長度可以直接用內積算，而「影子不會比本人長」這件事，就是柯西不等式。
正射影：長度與向量兩種問法
a 在 b 方向上的正射影長是 a · b ∕ |b|（可以是負的，表示影子落在反方向）；正射影向量則是把這個長度乘回 b 方向的單位向量：
正射影向量 = (a · b ∕ |b|²) b
柯西不等式 |a · b| ≤ |a||b| 永遠成立，只有在 a、b 平行時才會取到等號。把滑桿調成兩向量同方向試試看。
柯西不等式的代數版本 (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂)²，等號成立於 a₁b₂ = a₂b₁（兩向量平行）。學測考它幾乎都在問最大值與最小值：例如已知 x² + y² = 25 求 3x + 4y 的極值，就是把 (3, 4) 與 (x, y) 湊成兩個向量，答案是 ±25。
二階行列式與面積：交叉相乘再相減
兩個向量張出的平行四邊形有多大？答案是一個交叉相乘的差，這個數叫二階行列式。三角形面積就是它的一半。
對 u = (u₁, u₂)、v = (v₁, v₂)，定義 Δ = u₁v₂ − u₂v₁。則平行四邊形面積 = |Δ|，三角形面積 = |Δ| ∕ 2。行列式的正負號只表示旋轉方向（正為逆時針、負為順時針），面積一定要取絕對值。
行列式為正：從 u 轉到 v 是逆時針方向。面積要取絕對值，所以正負號只在判斷方向時有用。
兩直線的夾角與三角不等式
兩直線的夾角：取方向向量再用內積
兩直線的夾角，就是它們的方向向量的夾角（或其補角）。習慣上取銳角當作兩直線的夾角，所以公式要加絕對值：
cos θ = |u · v| ∕ (|u| |v|)直線 ax + by + c = 0 的方向向量可以取 (b, −a)，法向量則是 (a, b)。用法向量算夾角也可以，結果一樣。
三角不等式：兩邊之和大於第三邊的向量版
右邊的等號成立在 a、b 同方向時（接成一直線最長）；左邊的等號成立在兩者反方向時（互相抵消最短）。這條在求 |a + b| 的範圍時很好用：不必算坐標，直接夾出上下界。
二元一次聯立方程式：兩條線的相對位置
解聯立方程式有兩條路：加減消去法一步一步湊，克拉瑪公式一次算三個行列式。而 Δ 是不是 0，決定了兩條直線是相交、平行還是重合。
克拉瑪公式：三個行列式決定一切
對聯立 a₁x + b₁y = c₁、a₂x + b₂y = c₂，定義
Δ = a₁b₂ − a₂b₁ ， Δx = c₁b₂ − c₂b₁ ， Δy = a₁c₂ − a₂c₁
當 Δ ≠ 0 時有唯一解 x = Δx ∕ Δ、y = Δy ∕ Δ。拉動下面六個係數，看兩條線怎麼動、Δ 什麼時候變成 0。
x = Δx ∕ Δ = 1 ， y = Δy ∕ Δ = 2
Δ ≠ 0：兩條直線斜率不同，交於唯一一點，克拉瑪公式可以直接用。
幾何意義、行列式性質與向量觀點
Δ 的三種情況分別代表什麼
| 條件 | 解 | 幾何意義 |
|---|---|---|
| Δ ≠ 0 | 唯一解 | 兩直線相交於一點 |
| Δ = 0，Δx、Δy 不全為 0 | 無解 | 兩直線平行且不重合 |
| Δ = Δx = Δy = 0 | 無限多組解 | 兩直線重合 |
要注意最後一列是「必要條件」的寫法：三個行列式都是 0 時，只要兩式係數不是全部為零，兩條線就重合。
二階行列式的性質
把兩列（或兩行）對調，行列式變號；某一列乘上 k，整個行列式乘上 k；把某一列的倍數加到另一列，行列式的值不變。
最後一條就是加減消去法背後的原理：消去的過程不會改變 Δ，所以用哪一種方法解，答案一定一樣。
向量觀點：解聯立就是在拆線性組合
把聯立寫成向量式：x (a₁, a₂) + y (b₁, b₂) = (c₁, c₂)。
這句話的意思是：把 (c₁, c₂) 拆成前兩個向量的線性組合，x、y 就是要找的係數。Δ ≠ 0 表示那兩個向量不平行，可以唯一地拆；Δ = 0 表示它們平行，這時候要嘛拆不出來（無解），要嘛有無限多種拆法（無限多組解）。第四節的線性組合與這一節其實是同一件事的兩種說法。
記憶軸：卡住的時候先問這四句
這一章公式很多，但真正的分岔只有四個。按一顆看它在講什麼。
按上面任一顆按鈕，這裡會出現對應的想法。
習題：基本與進階
下面 35 題涵蓋這一章的八個主題。可以直接在格子裡填答案，用底下的符號鍵盤點按也可以；分數請用斜線寫成 3/2 這樣，寫成小數 1.5 一樣算對，根號用 √ 這個鍵。想寫在紙上就用「拍照或上傳 PDF 作答」把手寫過程帶進來，照片和檔案只留在你自己的裝置上，不會上傳到任何地方。按「檢查答案」之後，對的會標正確，錯的會直接把正確答案和解法攤開。
關於題目來源 原文章〈108課綱學測數學總複習第十章 平面向量〉的習題區目前只列出「題目一」「題目二」兩個標題，內容標註題目後續更新、還沒有放上來。所以下面這 35 題，是依照原文同一章十六節的觀念與編排順序另外設計的：基本題對應表示法、加減、係數積、內積、分點與面積；進階題對應夾角、正射影、柯西不等式、行列式面積、克拉瑪公式、分點公式與線性組合。等原文的題目補上來之後，可以直接替換或接在後面。
向量的答案怎麼填 問到向量坐標時，x 分量與 y 分量會分成兩格，各填一個數就好，不用打括號和逗號。負號用鍵盤上的 −，或直接打鍵盤的減號都可以。
基本15 題 表示法 · 加減與係數積 · 內積 · 分點 · 面積
1已知 A(1, 2)、B(5, 5)，求向量 AB 的坐標與長度 |AB|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AB = (4, 3)，|AB| = 5
向量坐標是終點減起點：AB = (5 − 1, 5 − 2) = (4, 3)。
長度用畢氏定理：|AB| = √4² + 3² = √25 = 5。
順序寫反就會得到 BA = (−4, −3)，長度一樣是 5 但方向相反。看到 AB 就唸「A 到 B」，減的時候「後面的減前面的」。
2已知 u = (3, −1)、v = (−2, 4)，求 u + v 與 u − v 的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 u + v = (1, 3)；u − v = (5, −5)
加減都是對應分量各自加減：u + v = (3 + (−2), −1 + 4) = (1, 3)；u − v = (3 − (−2), −1 − 4) = (5, −5)。
減負數變加，這裡最容易掉分。把 −(−2) 老老實實寫成 +2 再算，比心算安全。
3已知 a = (2, −3)，求 3a 的坐標與 |3a|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3a = (6, −9)，|3a| = 3√13
係數積是兩個分量都乘 3：3a = (6, −9)。
長度有兩種算法。直接算：√6² + (−9)² = √117 = 3√13。或用性質 |3a| = 3|a| = 3√2² + 3² = 3√13，第二種快得多。
√117 要記得化簡：117 = 9 × 13，所以 √117 = 3√13 ≈ 10.82。填 √117 或 10.82 系統也算對，但考卷上要寫最簡根式。
4判斷 a = (4, −6) 與 b = (−6, 9) 是否平行；另外求使 (2, k) 與 (6, −9) 平行的 k。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 是（平行）；k = −3
平行的判定是交叉相乘相等：4 × 9 − (−6) × (−6) = 36 − 36 = 0，所以兩向量平行。（也可以看出 b = −a × 3∕2，係數是負的，表示方向相反但仍算平行。）
第二小題同樣列式：2 × (−9) − k × 6 = 0，得 −18 = 6k，k = −3。
「平行」不管方向是同向還是反向，只要落在同一條直線的方向上就算。判定式 a₁b₂ − a₂b₁ = 0 一次搞定，不必去討論係數的正負。
5已知 u = (1, 2)、v = (3, −1)，求內積 u · v。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1
內積是對應分量相乘再相加：u · v = 1 × 3 + 2 × (−1) = 3 − 2 = 1。
內積算出來是一個數，不是向量。答案寫成 (3, −2) 就是把它跟分量乘法搞混了。
6已知 a = (3, 4)、b = (−4, 3)，求 a · b，並說明兩向量的關係。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a · b = 0；兩向量互相垂直
a · b = 3 × (−4) + 4 × 3 = −12 + 12 = 0。內積為 0 且兩者都不是零向量，所以 a ⊥ b。
把 (x, y) 換成 (−y, x)，就是把它逆時針轉 90°，內積必為 0。看到這種「分量交換再變一個號」的組合，直接判垂直。
7已知 a = (1, √3)，求 |a| 與 a 和 x 軸正向的夾角（度）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |a| = 2；夾角 = 60°
|a| = √1² + (√3)² = √4 = 2。
與 x 軸正向（方向向量 (1, 0)）的夾角：cos θ = (1 × 1 + √3 × 0) ∕ (2 × 1) = 1∕2，所以 θ = 60°。
也可以直接看 tan θ = y ∕ x = √3，得 60°。這一題的向量剛好是 30-60-90 直角三角形的斜邊，記熟這組數字可以省很多時間。
8已知 A(−1, 0)、B(5, 3)，求線段 AB 的中點坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 (2, 3/2)
中點是分點公式取 t = ½：M = ((−1 + 5) ∕ 2, (0 + 3) ∕ 2) = (2, 3∕2)。
中點就是兩點坐標各自取平均，不要跟「向量 AB = 終點減起點」混在一起——一個用加、一個用減。
9已知 △ABC 的三頂點為 A(0, 0)、B(6, 3)、C(3, 6)，求重心 G 的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 G = (3, 3)
重心是三頂點坐標的平均：G = ((0 + 6 + 3) ∕ 3, (0 + 3 + 6) ∕ 3) = (3, 3)。向量寫法是 OG = ⅓(OA + OB + OC)。
重心除以 3、中點除以 2，分母就是點的個數。這條公式在證明「三中線交於一點」時也會再出現一次。
10已知 u = (2, 1)、v = (1, 3)，求以 u、v 為兩鄰邊的平行四邊形面積，以及 u、v 張出的三角形面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 平行四邊形 5；三角形 5/2
二階行列式 Δ = 2 × 3 − 1 × 1 = 5。平行四邊形面積 = |Δ| = 5，三角形面積 = |Δ| ∕ 2 = 5∕2。
面積一定要取絕對值。如果把 u、v 的順序對調，行列式會變成 −5，但面積還是 5。
11已知 a = (3, 4)、b = (1, 0)，求 a 在 b 方向上的正射影長，以及與 a 同方向的單位向量。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 正射影長 3；單位向量 (3/5, 4/5)
正射影長 = a · b ∕ |b| = (3 × 1 + 4 × 0) ∕ 1 = 3。因為 b 就是 x 軸方向的單位向量，這個影子長剛好等於 a 的 x 分量。
單位向量 = a ∕ |a| = (3, 4) ∕ 5 = (3∕5, 4∕5)。
「除以自己的長度」是把向量標準化的固定動作。檢查方法：(3∕5)² + (4∕5)² = 9∕25 + 16∕25 = 1，長度確實是 1。
12用克拉瑪公式解聯立方程式 2x + 3y = 8、x − y = −1，求 Δ、x 與 y。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 Δ = −5，x = 1，y = 2
Δ = 2 × (−1) − 1 × 3 = −5；Δx = 8 × (−1) − (−1) × 3 = −8 + 3 = −5；Δy = 2 × (−1) − 1 × 8 = −10。
所以 x = Δx ∕ Δ = 1、y = Δy ∕ Δ = 2。代回原式檢查：2 + 6 = 8 ✓、1 − 2 = −1 ✓。
寫 Δx 時是把第一行換成常數行，寫 Δy 時換第二行。換錯行是這一節最常見的失分點，算完一定要代回去檢查。
13已知 a = (3, 4)、b = (6, 8)，求 |a + b| 與 |a| + |b|，並判斷三角不等式的等號是否成立。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 15；15；是，等號成立
a + b = (9, 12)，長度 = √81 + 144 = √225 = 15。另一邊 |a| + |b| = 5 + 10 = 15。
兩者相等，因為 b = 2a，兩向量同方向——這正是三角不等式右邊等號成立的條件。
把 b 改成 (−6, −8) 再算一次：a + b = (−3, −4)，長度 5，正好是 | |a| − |b| | = |5 − 10| = 5，這是左邊等號成立的情況。
14已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)，若 (5, 5) = s a + t b，求 s 與 t。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 s = 2，t = 1
把坐標拆成兩條方程式：s + 3t = 5、2s + t = 5。由第二式得 t = 5 − 2s，代入第一式：s + 15 − 6s = 5，得 s = 2、t = 1。
檢查：2(1, 2) + 1(3, 1) = (2, 4) + (3, 1) = (5, 5) ✓。
線性組合題就是聯立方程式題。a、b 不平行（行列式 1 × 1 − 2 × 3 = −5 ≠ 0），所以拆法唯一。
15已知兩直線的方向向量分別為 u = (1, 1) 與 v = (1, 0)，求兩直線的夾角（銳角，度）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 45°
cos θ = |u · v| ∕ (|u| |v|) = |1| ∕ (√2 × 1) = 1∕√2，所以 θ = 45°。
問兩直線的夾角時公式要加絕對值，答案取銳角；問兩向量的夾角時不加絕對值，答案可能是鈍角。這兩題長得很像，看清楚問的是線還是箭頭。
進階20 題 夾角 · 正射影 · 柯西不等式 · 行列式 · 克拉瑪 · 分點 · 線性組合
16已知 a = (2, 2)、b = (0, 3)，求 a · b、|a| 與兩向量的夾角 θ（度）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a · b = 6；|a| = 2√2；θ = 45°
內積：2 × 0 + 2 × 3 = 6。長度：|a| = √4 + 4 = 2√2，|b| = 3。
夾角：cos θ = 6 ∕ (2√2 × 3) = 6 ∕ (6√2) = 1∕√2 = √2∕2，所以 θ = 45°。
求夾角的三步永遠一樣：算內積 → 算兩個長度 → 相除得 cos。分母帶根號時記得有理化，看到 1∕√2 就要反射性想到 45°。
17已知 |a| = 3、|b| = 5、a · b = −9，求 |a + b| 與 |a − b|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |a + b| = 4；|a − b| = 2√13
把長度平方展開成內積：|a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|² = 9 + 2(−9) + 25 = 16，所以 |a + b| = 4。
同理 |a − b|² = 9 − 2(−9) + 25 = 52，所以 |a − b| = √52 = 2√13。
沒有坐標也能算，關鍵是 |v|² = v · v 這條橋。展開的方式跟 (a ± b)² 完全一樣，只是把乘法換成內積。
18求 a = (4, 3) 在 b = (1, 2) 方向上的正射影向量與正射影長。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 正射影向量 (2, 4)；正射影長 2√5
先算內積與 |b|²：a · b = 4 + 6 = 10，|b|² = 1 + 4 = 5。
正射影向量 = (10 ∕ 5)(1, 2) = 2(1, 2) = (2, 4)；正射影長 = 10 ∕ √5 = 2√5 ≈ 4.47。
正射影向量除以的是 |b|²，正射影長除以的是 |b|。差一個次方，兩題常常一起考，看清楚問的是哪一個。
19已知 x² + y² = 25，求 3x + 4y 的最大值與最小值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 最大值 25；最小值 −25
柯西不等式：(3² + 4²)(x² + y²) ≥ (3x + 4y)²，也就是 25 × 25 ≥ (3x + 4y)²，所以 −25 ≤ 3x + 4y ≤ 25。
等號成立在 (x, y) 與 (3, 4) 平行時，也就是 (x, y) = ±(3, 4)：取 (3, 4) 得最大值 25，取 (−3, −4) 得最小值 −25。
看到「平方和固定，求一次式的極值」就是柯西。把係數 (3, 4) 和變數 (x, y) 各看成一個向量，內積的絕對值不會超過長度乘積。
20已知 x² + 4y² = 16，求 x + 2y 的最大值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 4√2
把式子湊成兩個向量的內積：x + 2y = 1 · x + 1 · (2y)，取 u = (1, 1)、v = (x, 2y)。
柯西：(1² + 1²)(x² + 4y²) ≥ (x + 2y)²，即 2 × 16 = 32 ≥ (x + 2y)²，所以最大值是 √32 = 4√2。
係數不整齊時，先看題目給的條件長什麼樣子（這裡是 x² + 4y²），再把要求的式子拆成配得起來的兩塊。湊向量是柯西題唯一的技巧。
21已知 A(1, 1)、B(4, 2)、C(2, 5)，求 △ABC 的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 11/2
先把兩邊寫成向量：AB = (3, 1)、AC = (1, 4)。
行列式 Δ = 3 × 4 − 1 × 1 = 11，三角形面積 = |11| ∕ 2 = 11∕2 = 5.5。
三個點求面積，先挑一個點當共同起點（這裡選 A），拉出兩支向量再算行列式。選 B 或 C 當起點答案一樣，但別把三個點的坐標直接丟進行列式。
22已知 A(1, 2)、B(7, 5)，P 在線段 AB 上且 AP : PB = 2 : 1，求 P 的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 P = (5, 4)
AP : PB = 2 : 1 表示 P 從 A 走了全長的 ⅔，也就是分點公式取 t = 2∕3：
OP = (1 − ⅔)(1, 2) + ⅔(7, 5) = (⅓ + 14∕3, ⅔ + 10∕3) = (5, 4)。
比例 m : n 換成 t 的規則是 t = m ∕ (m + n)，分母是兩段的和。直接把 2 當成 t 代進去，點就會跑到線段外面。
23求兩直線 L₁：2x − y + 1 = 0 與 L₂：3x + y − 2 = 0 的夾角（銳角，度）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 45°
直線 ax + by + c = 0 的方向向量取 (b, −a)：L₁ 的方向向量是 (−1, −2)，可取 (1, 2)；L₂ 的是 (1, −3)。
cos θ = |1 × 1 + 2 × (−3)| ∕ (√5 × √10) = 5 ∕ (5√2) = 1∕√2，所以 θ = 45°。
用法向量 (2, −1) 與 (3, 1) 算也可以，答案一樣：兩直線的夾角等於兩法向量的夾角。記得加絕對值取銳角，否則會得到 135°。
24已知聯立方程式 3x − 2y = 7、6x − 4y = k，求 Δ，以及使兩直線重合的 k 值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 Δ = 0；k = 14
Δ = 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0，所以兩直線不是平行就是重合，沒有唯一解。
第二式的係數剛好是第一式的 2 倍，要重合就必須連常數項也是 2 倍：k = 2 × 7 = 14。此時有無限多組解；k ≠ 14 時兩線平行且不重合，無解。
判斷解的個數，順序是先看 Δ、再看 Δx 與 Δy。這一題也可以驗算：k = 14 時 Δx = 7 × (−4) − 14 × (−2) = 0、Δy = 3 × 14 − 6 × 7 = 0，三個行列式全為 0，正是重合的條件。
25已知 a = (1, 2)、b = (2, −1)，若 (4, 3) = s a + t b，求 s 與 t。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 s = 2，t = 1
拆成聯立：s + 2t = 4、2s − t = 3。由第二式 t = 2s − 3，代入第一式：s + 4s − 6 = 4，得 s = 2、t = 1。
檢查：2(1, 2) + 1(2, −1) = (2, 4) + (2, −1) = (4, 3) ✓。
這一題的 a 與 b 剛好垂直（內積 = 0），所以還有更快的做法：s = (4, 3) · a ∕ |a|² = 10∕5 = 2，t = (4, 3) · b ∕ |b|² = 5∕5 = 1。基底垂直時，係數可以用內積直接取出來。
26已知 |a| = 2、|b| = 3，兩向量的夾角為 60°，求 (a + 2b) · (a − b)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 −11
先算內積：a · b = 2 × 3 × cos60° = 6 × ½ = 3。
再像多項式一樣展開：(a + 2b) · (a − b) = |a|² − a · b + 2b · a − 2|b|² = 4 + 3 − 18 = −11。
內積有交換律與分配律，所以展開的手續跟一般乘法一模一樣；唯一要換腦袋的是 a · a 要寫成 |a|²，不能寫成 a²。
27已知向量 a 滿足 |a − (3, 4)| = 1，求 |a| 的最大值與最小值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 最大值 6；最小值 4
條件的意思是：a 的終點落在以 (3, 4) 為圓心、半徑 1 的圓上。而 |a| 是原點到那一點的距離。
圓心到原點的距離是 √9 + 16 = 5，所以距離的範圍是 5 − 1 = 4 到 5 + 1 = 6。
用三角不等式寫也一樣：|a| = |(3, 4) + (a − (3, 4))|，夾在 |5 − 1| 與 5 + 1 之間。看到「某個向量的長度固定」就把它想成一個圓，題目立刻變成距離問題。
13已知 △ABC 的三頂點為 A(1, 1)、B(4, 3)、C(2, 6)。求 AB 與 AC 所成的二階行列式 Δ，以及 △ABC 的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 Δ = 13，面積 = 13/2
AB = (3, 2)，AC = (1, 5)。
Δ = 3×5 − 2×1 = 15 − 2 = 13。
三角形面積 = |Δ| ∕ 2 = 13∕2。
行列式可能是負的，面積一定要取絕對值再除以 2。如果把 AB 與 AC 的順序對調，Δ 會變成 −13，面積不變 —— 正負號只記錄轉向，跟大小無關。
14已知 |a| = 3、|b| = 4，兩者夾角為 60°。求 a · b、|a + b| 與 |a − b|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a · b = 6，|a + b| = √37，|a − b| = √13
a · b = |a||b| cos 60° = 3 × 4 × (1∕2) = 6。
|a + b|² = |a|² + 2(a · b) + |b|² = 9 + 12 + 16 = 37，所以 |a + b| = √37。
|a − b|² = 9 − 12 + 16 = 13，所以 |a − b| = √13。
題目一個坐標都沒給，照樣算得出來 —— 因為展開之後只用到長度與內積。看到「求向量和或差的長度」，一律先平方再展開，中間項的正負號是加法與減法唯一的差別。
15已知 x² + y² = 25，求 3x + 4y 的最大值，以及取到最大值時的 x 與 y。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 最大值 25，此時 (x, y) = (3, 4)
用柯西不等式：(x² + y²)(3² + 4²) ≥ (3x + 4y)²，即 25 × 25 = 625 ≥ (3x + 4y)²。
所以 −25 ≤ 3x + 4y ≤ 25，最大值是 25。
等號成立於 (x, y) = t(3, 4)。代入 25t² = 25 得 t = ±1，取最大值時 t = 1，所以 (x, y) = (3, 4)。
看到「已知平方和、求一次式極值」就想柯西。等號成立的條件是兩向量平行，把 (x, y) 寫成係數向量的 t 倍代回條件式，就能解出取到極值的那一組坐標。t = −1 給的是最小值 −25。
16已知 a = (3, 4)、b = (1, 1)。求 a · b、a 在 b 上的正射影長，以及正射影向量的兩個坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a · b = 7，正射影長 = 7√2/2，正射影向量 = (7/2, 7/2)
a · b = 3×1 + 4×1 = 7；|b| = √2。
正射影長 = |a · b| ∕ |b| = 7 ∕ √2 = 7√2 ∕ 2 ≈ 4.95。
正射影向量 = [(a · b) ∕ |b|²] b = (7∕2)(1, 1) = (7∕2, 7∕2)。
分母差一次方就差很多：正射影長除 |b|，正射影向量除 |b|² 再乘回 b。驗算方法是算正射影向量的長度：√(7∕2)² + (7∕2)² = (7∕2)√2 = 7√2∕2 ✓，兩個答案應該對得起來。
17已知 A(2, −1)、B(8, 5)。點 P 在線段 AB 上且 AP : PB = 2 : 1；點 Q 在射線 AB 上且 AQ = 3AB。求 P 與 Q 的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 P(6, 3)，Q(20, 17)
分點公式：AP : PB = 2 : 1 時，OP = (1×OA + 2×OB) ∕ 3。
P = ((2 + 16) ∕ 3, (−1 + 10) ∕ 3) = (6, 3)。
AB = (6, 6)，所以 Q = A + 3AB = (2 + 18, −1 + 18) = (20, 17)。
分點公式的權重是交叉的：AP : PB = 2 : 1，靠近 B，所以 B 的權重是 2、A 的權重是 1。寫反就會得到 (4, 1)。快速檢查：P 應該離 B(8, 5) 比較近，(6, 3) 確實是。
18用克拉瑪公式解聯立方程式 2x + 3y = 12、3x − y = 7，求 Δ、Δx、x 與 y。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 Δ = −11，Δx = −33，(x, y) = (3, 2)
Δ = 2×(−1) − 3×3 = −2 − 9 = −11。
Δx 是把 x 那一行換成常數行：12×(−1) − 3×7 = −12 − 21 = −33。
Δy = 2×7 − 12×3 = 14 − 36 = −22。
所以 x = −33 ∕ −11 = 3、y = −22 ∕ −11 = 2。
Δ = −11 ≠ 0，代表兩直線恰好交於一點。換行的時候要換對：求 x 就換第一行、求 y 就換第二行。代回驗算：6 + 6 = 12 ✓、9 − 2 = 7 ✓。
19已知 △ABC 的三頂點為 A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3)。求 AB · AC、△ABC 的面積，以及 cos A。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AB · AC = 4，面積 = 6，cos A = √10/10
AB = (4, 0)，AC = (1, 3)。
內積 = 4×1 + 0×3 = 4。
行列式 = 4×3 − 0×1 = 12，面積 = 12 ∕ 2 = 6。
|AB| = 4、|AC| = √10，所以 cos A = 4 ∕ (4√10) = 1∕√10 = √10 ∕ 10 ≈ 0.316。
同一組向量，內積給角度、行列式給面積 —— 這一題把兩個工具擺在一起，正好對照。順帶檢查：sin A = |Δ| ∕ (|AB||AC|) = 12 ∕ (4√10) = 3∕√10，而 (1∕√10)² + (3∕√10)² = 1 ✓。
20已知 a = (1, 2)、b = (3, 1)、c = (11, 7)。求使 c = ma + nb 成立的 m 與 n。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 m = 2，n = 3
把式子拆成兩個坐標：
m + 3n = 11 ……（x 分量）
2m + n = 7 ……（y 分量）
由第二式得 n = 7 − 2m，代入第一式：m + 21 − 6m = 11，即 −5m = −10，得 m = 2、n = 3。
驗算：2(1, 2) + 3(3, 1) = (2, 4) + (9, 3) = (11, 7) ✓。
a 與 b 不平行（行列式 1×1 − 2×3 = −5 ≠ 0），所以平面上任何向量都能唯一寫成它們的線性組合 —— 這就是「兩個不平行的向量構成平面的一組基底」。如果 a 與 b 平行，這個方程組就可能無解或有無限多組解。
三種作答方式 直接在格子裡打字；或用格子下方的「符號鍵盤」按出根號、分數線與負號，按一下就填進目前作用中的那一格；或按「拍照或上傳 PDF 作答」，把手寫算式拍成照片、或整份寫好的 PDF 帶上來。檔案只會留在你自己的裝置上，不會傳出去。上傳後這一題的正確答案與解法會直接攤開，讓你對著自己的過程批一次——錯在哪一步，比錯在哪一題更值得知道。