課程地圖 ／ 第十一章
空間向量
從平面走到空間，只多加了一個 z。但多的這一維讓兩條直線除了「相交」和「平行」之外，多出第三種可能——歪斜；也讓「面積」升級成「體積」、「二階行列式」升級成「三階」。這一章先把空間的位置變成三個數，再用內積、外積、行列式三種運算，把角度、面積、體積、距離全部翻譯成算式。下面每一張立體圖都可以拉、可以按。
這一章包含的單元 第四冊 A 單元一空間概念、單元二空間向量的坐標表示法、單元三空間向量的運算、單元四三階行列式、單元八三元一次聯立方程式；第四冊 B 從點線面的基本事實、三垂線定理，一路到外積、平行六面體體積、平面的判定、長方體中的距離，最後收在地球的經緯度與球面距離。章節架構依老王看世界〈108課綱學測數學總複習第十一章 空間向量〉整理。
空間概念：多出來的第三種關係叫歪斜
平面上兩條相異直線只有兩種下場：相交，或平行。到了空間多一種——既不相交、也不平行，這叫歪斜（skew）。判斷的關鍵字只有一個：共不共面。相交與平行的兩條直線一定共面；不共面的兩條直線必定歪斜。
先記住四條基本事實
- 兩點決定一直線 空間中相異兩點恰好決定一條直線，記作 AB。同樣兩個點還可以框出另外兩種東西：從 A 出發、穿過 B 一路延伸出去的那一半叫射線 AB，只取兩點之間的那一截叫線段 AB。三者的符號不同，考卷上寫錯就是錯。
- 不共線的三點決定一平面 所以「三腳架不會晃、四腳椅會晃」。一條直線加上線外一點、兩條相交直線、兩條平行直線，也都各自決定一個平面。
- 直線與平面的關係 直線在平面上、直線與平面交於一點、直線與平面平行，只有這三種。
- 平面與平面的關係 兩平面重合、相交於一直線、平行，也只有這三種。兩平面相交絕不會只交於一點。
符號速查 同樣兩個字母，頭上戴的帽子不一樣，指的東西就完全不同：AB 是線段，兩端都停住，有長度；AB 是射線，從 A 出發、過 B 之後一路延伸不回頭；AB 是直線，兩邊都無限長；AB 是向量，除了長度還帶方向。再套一層絕對值寫成 |AB|，讀作「向量 AB 的長度」——那是一個數，方向已經被丟掉了。這一章之後所有的式子都照這套寫法，看到帽子先看它有沒有箭頭、箭頭有幾個。
AB 與 DC：兩條都躺在底面上，方向相同又不重疊 —— 這是平行。
三垂線定理：把空間的垂直丟回平面上判斷
這是空間裡最常被拿來用的一條定理，講的是「垂直可以傳遞」。設 P 是平面 E 外一點、A 是 P 在 E 上的垂足（也就是 PA ⊥ E），L 是平面 E 上的一條直線、B 在 L 上：
PA ⊥ 平面 E，且 AB ⊥ L ⟹ PB ⊥ L
用途是這樣的：空間中要證明兩條線垂直很難想像，但只要把其中一條「投影」到平面上，問題就縮回平面幾何。反過來用也成立——已知 PB ⊥ L，就可以推得 AB ⊥ L。上面的立體圖按「垂直：AB 與 AE」那一顆，看到的就是這個結構的骨架：AE 垂直底面，所以它垂直底面上通過 A 的每一條線。
學會用向量之後，這些會變成算術 三垂線定理、線面垂直、兩面角，用純幾何論證要畫很多輔助線；換成向量之後，垂直就是內積等於 0、夾角就是內積除以長度乘積、共面就是行列式等於 0。這一章後半的重點，就是把上面這些幾何敘述全部換成可以硬算的式子。
空間坐標系：三個數把位置釘死
在原點拉出三條兩兩垂直的數線 x、y、z，空間中的每一個點就對應一組 (x, y, z)。三條軸兩兩決定一個平面，叫做 xy 平面、yz 平面、zx 平面，它們把空間切成八個卦限。
兩點距離：畢氏定理用兩次
設 P(x₁, y₁, z₁)、Q(x₂, y₂, z₂)：
PQ = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²
推導只是把平面上的畢氏定理用兩次：先在 xy 平面上算出影子的長度，再把高度接上去。下面的圖把這個「先量影子、再補高度」的過程畫出來了。
綠色虛線 OQ 是 P 在 xy 平面上的影子，藍色虛線 QP 就是高度 |z|。
三個常考的距離，別記混
| 到什麼 | 距離 | 怎麼想 |
|---|---|---|
| 到 xy 平面 | |z| | 把跟這個平面無關的那一個坐標取絕對值 |
| 到 z 軸 | √x² + y² | 把跟這條軸無關的兩個坐標平方相加再開根號 |
| 到原點 | √x² + y² + z² | 三個都算進去 |
一個判斷口訣 到「平面」丟掉兩個坐標留一個，到「軸」丟掉一個坐標留兩個，到「原點」三個全留。愈低維的對象，留下的坐標愈多。
空間向量的運算：跟平面一模一樣，多一個坐標
好消息是，加法、減法、係數積這三種運算從平面搬到空間，規則完全沒變，只是每個式子多算一個 z 分量。AB 依然是終點減起點，加法依然是接龍或補平行四邊形。
- 加法與減法 a ± b = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃)
- 係數積 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)；長度變成 |k| 倍，k < 0 時方向反過來
- 長度 |a| = √a₁² + a₂² + a₃²
- 平行 a ∥ b ⟺ 存在實數 t 使 b = ta（三個坐標的比值相同）
- 中點與重心 中點是兩個位置向量的平均，重心是三個位置向量的平均——這兩條在空間中原封不動成立
紅色的 a + b 是平行四邊形的對角線。
線性組合與共面 平面上任兩個不平行的向量可以組出全部；到了空間需要三個不共面的向量才組得出全部。反過來說，三個向量共面 ⟺ 其中一個可以寫成另外兩個的線性組合 ⟺ 它們排成的三階行列式等於 0。這條判定式在後面第 6 節會再出現一次。
內積、正射影與柯西不等式
內積是這一章的主力。兩個向量做內積得到一個實數，這個數同時藏著長度與夾角，所以凡是問角度、問垂直、問投影長的題目，第一步都是寫內積。定義與公式跟平面向量完全平行，只是多加一項。
a · b = |a| |b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- 求夾角 cos θ = (a · b) ∕ (|a| |b|)，其中 0° ≤ θ ≤ 180°
- 垂直判定 兩個非零向量垂直 ⟺ a · b = 0
- 正射影長 a 在 b 上的正射影長 = |a · b| ∕ |b|
- 正射影向量 = [(a · b) ∕ |b|²] b
- 柯西不等式 (a₁² + a₂² + a₃²)(b₁² + b₂² + b₃²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²，等號成立於兩向量平行
內積為正：夾角是銳角。
柯西不等式怎麼用 題目長成「已知 x² + y² + z² = 9，求 2x + y + 2z 的最大值」就是它。把 (x, y, z) 與 (2, 1, 2) 看成兩個向量，內積不會超過長度相乘：最大值 = 3 × 3 = 9，最小值 = −9。等號成立時兩向量平行，把比例代回去就能求出取到極值的那組坐標。
外積：空間才有的運算，一次拿到垂直向量與面積
內積把兩個向量變成一個數，外積把兩個向量變成另一個向量——而且這個新向量同時垂直於原來兩個。平面向量沒有外積，這是空間才有的工具，也是這一章最好用的一招。
u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁)
- 方向 同時垂直 u 與 v，指向由右手定則決定。注意 v × u = −(u × v)，外積不能交換。
- 長度 |u × v| = |u| |v| sin θ，剛好是兩者張出的平行四邊形面積。
- 三角形面積 = |u × v| ∕ 2
- 平行判定 u × v = 零向量 ⟺ 兩向量平行（跟「內積為 0 是垂直」剛好是一對）
紫色箭頭同時垂直於 u 與 v。
外積最常見的三個用途 一、已知平面上兩個方向，外積直接給你法向量，平面方程式就寫出來了（第 7 節會用到）。二、求三角形面積：兩邊做外積再除以 2。三、判斷共線／共面：外積為零向量代表兩向量平行，三個向量的「純量三重積」為 0 代表共面。
三階行列式：一個數就是一個體積
二階行列式算面積，三階行列式算體積。把三個向量排成三列，算出來的行列式取絕對值，就是它們張出的平行六面體體積；行列式等於 0，代表這個立體被壓扁了——三個向量共面。
a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − a₂(b₁c₃ − b₃c₁) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁)
這叫做降階展開（沿第一列展開）：每次挑一個元素，把它所在的列與行遮掉，剩下的二階行列式乘上去，符號按 + − + 交錯。另一種常見的算法是「沙流法」，把前兩行抄到右邊再畫三條斜線相乘——兩種算出來一樣，挑順手的用就好。
行列式的絕對值就是這個平行六面體的體積。
三個常用的性質 一、任兩列對調，行列式變號。二、某一列乘以 k，行列式就乘以 k。三、把某一列的倍數加到另一列，行列式不變——這一條是化簡的主力，先用它把某一列湊出兩個 0，再降階展開，計算量會少一半。另外，有兩列相同或成比例時行列式必為 0，因為三個向量共面。
空間中的平面：係數就是法向量
空間中的平面方程式長成 ax + by + cz = d。這個式子最值得記住的一件事是：三個係數 (a, b, c) 直接就是平面的法向量。跟平面上「ax + by = c 的係數是直線的法向量」是同一句話，只是升了一維。
- 已知法向量與一點 過 P₀(x₀, y₀, z₀) 且法向量為 (a, b, c) 的平面：a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0
- 已知三點 先求兩個方向向量，做外積得到法向量，再代其中一點
- 截距式 過 (p, 0, 0)、(0, q, 0)、(0, 0, r) 的平面：x∕p + y∕q + z∕r = 1
- 點到平面的距離 d = |ax₀ + by₀ + cz₀ − d| ∕ √a² + b² + c²
- 兩平面的夾角 看兩個法向量的夾角，用內積算
- 兩平行平面的距離 把兩式的 x、y、z 係數調成一樣，常數項相減再除以法向量長度
紫色箭頭是法向量，紅色虛線是 Q 到平面的垂足距離。
兩個容易錯的地方 一、算距離之前一定要把平面寫成 ax + by + cz = d 的標準形，常數項移錯邊就整題錯。二、兩平面的夾角有兩個互補的答案，法向量算出來是鈍角時，題目通常要的是它的補角，記得看清楚問的是「夾角」還是「兩面角」。
三元一次聯立方程式：三張平面怎麼擺
一個三元一次方程式就是一張平面，三個聯立起來就是問：這三張平面有沒有共同點。判定的第一步永遠是算係數行列式 Δ。
- Δ ≠ 0 恰有唯一解，三張平面交於一點。可以用克拉瑪公式：x = Δx ∕ Δ、y = Δy ∕ Δ、z = Δz ∕ Δ
- Δ = 0 不是無解就是無限多解，必須回頭看方程式本身：可能交於一直線、可能圍成三稜柱、也可能有兩張平面平行
- x + y + z = 6
- x − y + z = 2
- 2x + y − z = 1
三個平面兩兩相交，三條交線再交在同一個點上。
解題順序 先算 Δ。Δ ≠ 0 就直接套克拉瑪公式收工。Δ = 0 的時候不要急著寫「無解」——先檢查三個方程式之間有沒有倍數關係或加減關係：能由前兩式推出第三式就是無限多解，係數對得起來但常數項對不起來就是無解。
經緯度與球面距離：把地球放進坐標系
這一節是空間坐標最漂亮的應用。地球近似成半徑 R 的球，緯度 φ 決定「離赤道多高」、經度 λ 決定「繞了多少角度」。兩地之間有兩種距離，考試常常故意混著問。
- 緯線圈半徑 北緯 φ 的緯線圈是一個小圓，半徑 = R cos φ。緯度愈高，圈子愈小。
- 沿緯線圈的距離 同緯度兩地經度差 λ 時，沿著緯線圈走的弧長 = R cos φ · λ（λ 用弧度）。這不是最短路徑。
- 球面距離 沿著大圓（圓心就是地心）走的弧長才是最短，= R · θ，其中 θ 是兩地對地心張開的角，由內積求得。
- 兩地的坐標 北緯 φ、東經 λ 的點是 R(cos φ cos λ, cos φ sin λ, sin φ)
同緯度 φ、經度差 λ 時：cos θ = cos²φ · cos λ + sin²φ
金色是沿著緯線圈走的路，紅色方向才是球面距離。
單位換算別漏掉 上面的計算取地球半徑 R = 6371 公里（國際慣用的平均半徑）。算弧長時角度一定要換成弧度：λ° × π ∕ 180。把緯度拉到 0，你會看到兩個距離變成一樣——因為赤道本身就是大圓。緯度愈高、經度差愈大，兩者差距愈明顯，這就是長程航線在平面地圖上看起來會往北彎的原因。
記憶軸：卡住的時候先問這五句
這一章的公式比第十章更多，但真正的分岔只有五個。按一顆看它在講什麼。
按上面任一顆按鈕，這裡會出現對應的想法。
習題：基本與進階
下面 27 題涵蓋這一章的九個主題。可以直接在格子裡填答案，用底下的符號鍵盤點按也可以；分數請用斜線寫成 8/3 這樣，寫成小數 2.667 一樣算對，根號用 √ 這個鍵。想寫在紙上就用「拍照或上傳 PDF 作答」把手寫過程帶進來，照片和檔案只留在你自己的裝置上，不會上傳到任何地方。按「檢查答案」之後，對的會標正確，錯的會直接把正確答案和解法攤開。
關於題目來源 原文章〈108課綱學測數學總複習第十一章 空間向量〉目前只放上目錄，作者註明內容後續更新；習題區同樣只有「題目一」「題目二」兩個標題、還沒有內容。所以下面這 27 題，是依照原文列出的二十一個學習單元的觀念與編排順序另外設計的：基本題對應空間坐標與距離、中點與重心、向量運算、內積、外積、三階行列式、平面方程式與三元一次聯立；進階題對應歪斜線夾角、正射影與柯西不等式、平面的求法、四面體體積、兩面角、平行平面距離、參數討論、球面距離與長方體中的距離。等原文的內容補上來之後，可以直接替換或接在後面。
空間向量的答案怎麼填 問到向量或點的坐標時，x、y、z 三個分量會分成三格，各填一個數就好，不用打括號和逗號。負號用鍵盤上的 −，或直接打鍵盤的減號都可以；根號寫成 5√3 這樣，或直接填小數也算對。
基本15 題 坐標與距離 · 中點重心 · 運算 · 內積 · 外積 · 行列式 · 平面 · 聯立
1已知 A(1, 2, 3)、B(3, 5, 9)，求向量 AB 的坐標與長度 |AB|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AB = (2, 3, 6)，|AB| = 7
空間向量一樣是終點減起點，只是多算一個坐標：AB = (3 − 1, 5 − 2, 9 − 3) = (2, 3, 6)。
長度用空間版的畢氏定理：|AB| = √2² + 3² + 6² = √49 = 7。
這條「√4 + 9 + 36」其實是畢氏定理用了兩次：先在 xy 平面上算出影子長 √13，再把高度 6 接上去，√13 + 36 = 7。理解了這一步，後面所有空間距離都是同一招。
2已知 P(3, −4, 12)。求 P 到 xy 平面的距離、P 到 z 軸的距離，以及 |OP|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 12 ， 5 ， 13
到 xy 平面只看 z：|12| = 12。
到 z 軸要丟掉 z、留下另外兩個：√3² + (−4)² = √25 = 5。
到原點三個全留：√9 + 16 + 144 = √169 = 13。
口訣：到「平面」留一個坐標，到「軸」留兩個，到「原點」三個全留。愈低維的對象，留下的坐標愈多 —— 這三題最常被混在一起考，先分清楚問的是誰。
3已知 A(1, 0, 2)、B(3, 4, −2)、C(2, 5, 6)。求線段 AB 的中點 M，以及 △ABC 的重心 G。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 M(2, 2, 0)，G(2, 3, 2)
中點是兩點坐標取平均：M = ((1 + 3) ∕ 2, (0 + 4) ∕ 2, (2 − 2) ∕ 2) = (2, 2, 0)。
重心是三點坐標取平均：G = ((1 + 3 + 2) ∕ 3, (0 + 4 + 5) ∕ 3, (2 − 2 + 6) ∕ 3) = (2, 3, 2)。
平面上怎麼算，空間就怎麼算 —— 中點除以 2、重心除以 3，只是每次多算一個坐標。這是「多一維但規則不變」最直接的例子。
4已知 a = (2, −1, 3)、b = (1, 4, −2)。求 a + b 與 2a − b 的坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a + b = (3, 3, 1)，2a − b = (3, −6, 8)
加法逐坐標相加：a + b = (2 + 1, −1 + 4, 3 − 2) = (3, 3, 1)。
先做係數積再相減：2a = (4, −2, 6)，所以 2a − b = (4 − 1, −2 − 4, 6 + 2) = (3, −6, 8)。
順序不能顛倒：一定是先乘係數、再加減。第三個坐標 6 − (−2) = 8 是最常掉分的地方，減負數要變加。
5已知 a = (1, 2, −2)、b = (3, 0, 4)。求 a · b、|a|、|b| 與 cos θ。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 a · b = −5，|a| = 3，|b| = 5，cos θ = −1/3
內積是三個乘積相加：a · b = 1×3 + 2×0 + (−2)×4 = 3 + 0 − 8 = −5。
|a| = √1 + 4 + 4 = 3，|b| = √9 + 0 + 16 = 5。
cos θ = (−5) ∕ (3 × 5) = −1∕3。
內積算出來是負的，代表夾角是鈍角。很多人算到 −5 就以為算錯了 —— 內積本來就可以是負數，它的正負剛好告訴你夾角是銳角還是鈍角。
6已知 a = (2, k, −1) 與 b = (3, 1, 4) 垂直，求 k，並求此時 |a|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 k = −2，|a| = 3
垂直 ⟺ 內積為 0：a · b = 2×3 + k×1 + (−1)×4 = 6 + k − 4 = k + 2 = 0，所以 k = −2。
代回去：a = (2, −2, −1)，|a| = √4 + 4 + 1 = √9 = 3。
空間中的垂直判定跟平面完全一樣 —— 把三個乘積加起來看是不是 0。求出參數之後記得代回原向量再算長度，不要拿含 k 的式子硬算。
7已知 a = (2, −4, 6) 與 b = (−3, m, n) 平行，求 m 與 n。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 m = 6，n = −9
平行代表存在實數 t 使 b = ta。由第一個坐標：−3 = 2t，得 t = −3∕2。
所以 m = (−4) × (−3∕2) = 6，n = 6 × (−3∕2) = −9。
也可以用比值來看：−3∕2 = m∕(−4) = n∕6。空間中判斷平行是「三個坐標的比值都相同」，比平面多檢查一個 —— 少驗一個坐標就可能誤判。
8已知 a = (2, −1, 2)，求 |a| 與與 a 同方向的單位向量。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |a| = 3，單位向量 = (2/3, −1/3, 2/3)
|a| = √4 + 1 + 4 = √9 = 3。
單位向量是原向量除以自己的長度：(2∕3, −1∕3, 2∕3)。
檢查一下：(2∕3)² + (−1∕3)² + (2∕3)² = (4 + 1 + 4) ∕ 9 = 1，長度確實是 1。算完單位向量順手驗一次平方和等不等於 1，是最快的自我檢查。
9已知 u = (1, 2, 3)、v = (2, −1, 1)，求 u × v 的坐標與 |u × v|。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 u × v = (5, 5, −5)，|u × v| = 5√3
外積照公式逐項算：
第一個坐標 = u₂v₃ − u₃v₂ = 2×1 − 3×(−1) = 2 + 3 = 5
第二個坐標 = u₃v₁ − u₁v₃ = 3×2 − 1×1 = 6 − 1 = 5
第三個坐標 = u₁v₂ − u₂v₁ = 1×(−1) − 2×2 = −1 − 4 = −5
長度 = √25 + 25 + 25 = √75 = 5√3。
驗算最快的方法是拿外積跟原來兩個向量做內積，兩個都應該是 0：(5, 5, −5)·(1, 2, 3) = 5 + 10 − 15 = 0 ✓。外積算完一定要驗這一步，中間第二個坐標的順序最容易寫反。
10已知 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3)，求 AB × AC 的坐標與 △ABC 的面積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AB × AC = (6, 3, 2)，面積 = 7/2
先求兩個邊向量：AB = (−1, 2, 0)，AC = (−1, 0, 3)。
外積 = (2×3 − 0×0, 0×(−1) − (−1)×3, (−1)×0 − 2×(−1)) = (6, 3, 2)。
|外積| = √36 + 9 + 4 = √49 = 7，這是平行四邊形面積；三角形面積要再除以 2，得 7∕2。
最常見的失分就是忘了除以 2。記住：外積的長度是平行四邊形，不是三角形。這一題三個頂點剛好在三條軸上，也可以用截距式先寫出平面 6x + 3y + 2z = 6 對照看看 —— 法向量正好就是 (6, 3, 2)。
11求下列兩個三階行列式的值：(1) 第一列 (1, 2, 3)、第二列 (0, 1, 4)、第三列 (5, 6, 0)；(2) 第一列 (2, 0, 1)、第二列 (1, 3, 2)、第三列 (1, 1, 1)。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 1 ， 0
(1) 沿第一列降階展開：1×(1×0 − 4×6) − 2×(0×0 − 4×5) + 3×(0×6 − 1×5) = 1×(−24) − 2×(−20) + 3×(−5) = −24 + 40 − 15 = 1。
(2) 2×(3×1 − 2×1) − 0×(1×1 − 2×1) + 1×(1×1 − 3×1) = 2×1 − 0 + 1×(−2) = 0。
第二個算出 0，代表這三個列向量共面 —— 張出的平行六面體被壓扁成一張紙。確實對得起來：第一列 (2, 0, 1) = 3×第三列 − 第二列 = (3, 3, 3) − (1, 3, 2) = (2, 0, 1)，所以第一列可以寫成另外兩列的線性組合。行列式為 0 就是共面最乾脆的判定，不必真的把組合湊出來。
12已知 u = (1, 0, 0)、v = (1, 2, 0)、w = (1, 1, 3)。求三階行列式的值、以它們為稜的平行六面體體積，以及對應四面體的體積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 行列式 = 6，平行六面體體積 = 6，四面體體積 = 1
第一列 (1, 0, 0) 只有一個元素非零，沿第一列展開最省事：行列式 = 1 × (2×3 − 0×1) − 0 + 0 = 6。
平行六面體體積 = |6| = 6；四面體體積 = 6 ∕ 6 = 1。
看到某一列有兩個 0，就沿那一列展開，一次只剩一個二階行列式要算。四面體體積是平行六面體的六分之一 —— 這個 6 不是巧合，把平行六面體切成六個等體積的四面體就是這個數。
13求過 (2, 0, 0)、(0, 3, 0)、(0, 0, 6) 三點的平面方程式，寫成 ax + by + cz = d 且 a、b、c、d 為最簡整數、a > 0。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 3x + 2y + z = 6
三個點剛好落在三條軸上，直接用截距式：x∕2 + y∕3 + z∕6 = 1。
兩邊同乘 6：3x + 2y + z = 6。
驗算就是把三個點代回去：(2,0,0) 給 6 ✓、(0,3,0) 給 6 ✓、(0,0,6) 給 6 ✓。另外注意法向量是 (3, 2, 1)，跟截距 (2, 3, 6) 剛好成倒數關係 —— 截距愈小的軸，係數愈大。
14求點 P(1, 2, 3) 到平面 x + 2y + 2z = 3 的距離，以及原點到同一平面的距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 8/3 ， 1
法向量 = (1, 2, 2)，|n| = √1 + 4 + 4 = 3。
P 到平面：|1×1 + 2×2 + 2×3 − 3| ∕ 3 = |1 + 4 + 6 − 3| ∕ 3 = 8∕3。
原點到平面：|0 + 0 + 0 − 3| ∕ 3 = 3∕3 = 1。
公式跟平面上的「點到直線距離」長得一模一樣，只是分子多一項、分母多一項。用之前一定要先把平面整理成 ax + by + cz = d 的標準形，常數項移錯邊整題就錯。
15用克拉瑪公式解聯立方程式 x + y + z = 6、x − y + z = 2、2x + y − z = 1，求 Δ 與 x、y、z。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 Δ = 6，(x, y, z) = (1, 2, 3)
係數行列式 Δ：第一列 (1, 1, 1)、第二列 (1, −1, 1)、第三列 (2, 1, −1)。展開得 1×((−1)(−1) − 1×1) − 1×(1×(−1) − 1×2) + 1×(1×1 − (−1)×2) = 0 + 3 + 3 = 6。
Δ ≠ 0，所以有唯一解。把常數行 (6, 2, 1) 依序換掉第一、二、三行，算得 Δx = 6、Δy = 12、Δz = 18。
所以 x = 6∕6 = 1、y = 12∕6 = 2、z = 18∕6 = 3。
算完務必代回三個原式驗一次：1 + 2 + 3 = 6 ✓、1 − 2 + 3 = 2 ✓、2 + 2 − 3 = 1 ✓。克拉瑪公式的計算量大，驗算比重算快。
進階12 題 歪斜線夾角 · 正射影與柯西 · 平面的求法 · 體積 · 兩面角 · 參數討論 · 球面距離
1正立方體 ABCD–EFGH 的邊長為 1，取 A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0)、E(0,0,1)、F(1,0,1)、G(1,1,1)、H(0,1,1)。求 AG · BH、|AG|，以及 AG 與 BH 夾角的餘弦值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AG · BH = 1，|AG| = √3，cos θ = 1/3
AG = (1, 1, 1) − (0, 0, 0) = (1, 1, 1)；BH = (0, 1, 1) − (1, 0, 0) = (−1, 1, 1)。
內積 = 1×(−1) + 1×1 + 1×1 = 1。兩者長度都是 √3。
cos θ = 1 ∕ (√3 × √3) = 1∕3。
AG 與 BH 是兩條歪斜線（既不相交也不平行），純幾何要另外作平行線才能量角，但用向量可以直接算 —— 這正是空間向量最省力的地方：歪斜線的夾角就是兩個方向向量的夾角，不必管它們碰不碰得到。
2已知 u = (3, 1, −1)、v = (1, 2, 2)。求 u · v、|v|、u 在 v 上的正射影長，以及正射影向量的三個坐標。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 u · v = 3，|v| = 3，正射影長 = 1，正射影向量 = (1/3, 2/3, 2/3)
內積 = 3×1 + 1×2 + (−1)×2 = 3 + 2 − 2 = 3；|v| = √1 + 4 + 4 = 3。
正射影長 = |u · v| ∕ |v| = 3 ∕ 3 = 1。
正射影向量 = [(u · v) ∕ |v|²] v = (3∕9)(1, 2, 2) = (1∕3, 2∕3, 2∕3)。
正射影「長」除的是 |v| 的一次方，正射影「向量」除的是平方再乘回 v —— 這兩個分母最容易記混。檢查方法：正射影向量的長度應該等於正射影長，√1 + 4 + 4∕3 = 1 ✓。
3已知 x² + y² + z² = 9，求 2x + y + 2z 的最大值與最小值，以及取到最大值時的 x。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 最大值 9，最小值 −9，此時 x = 2
把 (x, y, z) 與 (2, 1, 2) 看成兩個向量，用柯西不等式：
(x² + y² + z²)(2² + 1² + 2²) ≥ (2x + y + 2z)²
9 × 9 = 81 ≥ (2x + y + 2z)²
所以 −9 ≤ 2x + y + 2z ≤ 9，最大值 9、最小值 −9。
等號成立於兩向量平行：(x, y, z) = t(2, 1, 2)。代入 9t² = 9 得 t = ±1，取最大值時 t = 1，所以 x = 2。
柯西不等式的題型長相很固定：已知平方和，求一次式的極值。看到這個組合就把兩組係數拆成兩個向量。別忘了最後問「取到極值時的坐標」時要回頭解 t，而且 t 的正負決定拿到的是最大還是最小。
4求過 A(1, 0, 1)、B(2, 1, 0)、C(0, 2, 3) 三點的平面方程式，寫成 ax + by + cz = d 且係數為最簡整數、a > 0。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 4x − y + 3z = 7
先求平面上兩個方向向量：AB = (1, 1, −1)，AC = (−1, 2, 2)。
法向量用外積：n = AB × AC = (1×2 − (−1)×2, (−1)×(−1) − 1×2, 1×2 − 1×(−1)) = (4, −1, 3)。
代 A(1, 0, 1)：4×1 − 1×0 + 3×1 = 7，所以平面是 4x − y + 3z = 7。
驗算把 B、C 也代進去：8 − 1 + 0 = 7 ✓、0 − 2 + 9 = 7 ✓。「三點求平面」的標準流程只有三步：兩個方向向量 → 外積得法向量 → 代任一點求常數。這一題是本章最常考的題型，流程要練到不用想。
5已知 O(0,0,0)、A(1, 2, 0)、B(0, 3, 1)、C(2, 0, 4)。求以 OA、OB、OC 為三列的行列式值，以及四面體 OABC 的體積。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 行列式 = 16，四面體體積 = 8/3
沿第一列展開：1×(3×4 − 1×0) − 2×(0×4 − 1×2) + 0×(0×0 − 3×2) = 12 − 2×(−2) + 0 = 12 + 4 = 16。
平行六面體體積 = |16| = 16，四面體體積 = 16 ∕ 6 = 8∕3。
行列式算出正數代表三個向量是右手系；如果算出 −16，體積一樣是 16，別把負號帶進體積。除以 6 這一步不要漏 —— 「行列式 → 平行六面體 → 四面體」中間差了兩次除法（先不除、再除 6）。
6已知平面 E₁：2x − y + 2z = 5、E₂：x + 2y + 2z = 3。求兩法向量的內積、兩平面夾角的餘弦值，以及點 (1, 1, 1) 到 E₁ 的距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 n₁ · n₂ = 4，cos θ = 4/9，距離 = 2/3
兩個法向量分別是 n₁ = (2, −1, 2)、n₂ = (1, 2, 2)，長度都是 3。
內積 = 2×1 + (−1)×2 + 2×2 = 2 − 2 + 4 = 4，所以 cos θ = 4 ∕ (3 × 3) = 4∕9。
點 (1, 1, 1) 到 E₁：|2×1 − 1×1 + 2×1 − 5| ∕ 3 = |−2| ∕ 3 = 2∕3。
兩平面的夾角就是兩個法向量的夾角，這是平面方程式最好用的性質。要注意的是法向量算出鈍角時，題目若問「兩平面的夾角」通常指其中的銳角，要取補角；這一題 cos 是正的，本來就是銳角，不必調整。
7已知兩平行平面 E₁：2x − 2y + z = 5、E₂：2x − 2y + z = −4。求 |n|、兩平面之間的距離，以及原點到 E₁ 的距離。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |n| = 3，兩平面距離 = 3，原點到 E₁ = 5/3
兩式的 x、y、z 係數完全相同，確實平行。n = (2, −2, 1)，|n| = √4 + 4 + 1 = 3。
兩平面距離 = |5 − (−4)| ∕ 3 = 9 ∕ 3 = 3。
原點到 E₁ = |0 − 0 + 0 − 5| ∕ 3 = 5∕3。
用「常數項相減再除以 |n|」之前，兩式的係數必須先調成一模一樣。如果題目給的是 2x − 2y + z = 5 與 4x − 4y + 2z = −8，要先把第二式除以 2 才能相減，否則答案會差一倍。
8已知聯立方程式 x + y + z = 1、2x + y − z = 2、3x + 2y + kz = 5。求 k = 2 時的係數行列式 Δ，以及使方程組沒有唯一解的 k。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 k = 2 時 Δ = −2；k = 0 時沒有唯一解
係數行列式沿第一列展開：
Δ = 1×(1×k − (−1)×2) − 1×(2×k − (−1)×3) + 1×(2×2 − 1×3)
= (k + 2) − (2k + 3) + 1 = −k
k = 2 時，Δ = −2。
沒有唯一解 ⟺ Δ = 0 ⟺ −k = 0 ⟺ k = 0。
「有沒有唯一解」只由 Δ 決定，跟常數項無關；常數項只在 Δ = 0 之後，用來分辨是無解還是無限多解。這一題只問到唯一解，所以算到 Δ = 0 就可以停。
9取地球半徑 R = 6400 公里。A、B 兩地同在北緯 60°，經度相差 90°。求北緯 60° 緯線圈的半徑（公里），以及 A、B 兩地對地心所張的角 θ 的餘弦值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 緯線圈半徑 = 3200 公里，cos θ = 3/4
緯線圈半徑 = R cos 60° = 6400 × (1∕2) = 3200 公里。
把兩地寫成坐標：A = R(cos 60° cos 0°, cos 60° sin 0°, sin 60°) = R(1∕2, 0, √3∕2)，B = R(0, 1∕2, √3∕2)。
cos θ = (A · B) ∕ R² = 0 + 0 + 3∕4 = 3∕4。
也可以直接背同緯度的公式：cos θ = cos²φ · cos λ + sin²φ = (1∕4)(0) + 3∕4 = 3∕4。要分清楚兩件事：沿緯線圈走的弧長是 3200 × (π∕2) ≈ 5027 公里，而球面距離是 6400 × arccos(3∕4) ≈ 4630 公里 —— 後者才是最短路徑。緯線圈不是大圓，走它並不划算。
10長方體 ABCD–EFGH 中 AB = 3、AD = 4、AE = 12。求底面對角線 AC、體對角線 AG，以及 AG 與底面 ABCD 所夾角的餘弦值。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 AC = 5，AG = 13，cos = 5/13
取 A 為原點、三邊為三軸：C = (3, 4, 0)，G = (3, 4, 12)。
AC = √9 + 16 = 5；AG = √9 + 16 + 144 = √169 = 13。
AG 在底面上的投影就是 AC，所以夾角的餘弦 = AC ∕ AG = 5∕13。
「直線與平面的夾角」定義成該直線與它在平面上的投影所夾的角 —— 這正是三垂線定理的結構：GC 垂直底面、AC 是投影。認出「鄰邊 ∕ 斜邊」之後就退化成國中的三角比，不必再算內積。
11已知 u = (1, 2, 1)、v = (2, −1, 3)、w = (5, 0, k) 三個向量共面。求 k，並求使 w = au + bv 成立的 a 與 b。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 k = 7，a = 1，b = 2
共面 ⟺ 三階行列式為 0。沿第一列展開：
1×((−1)k − 3×0) − 2×(2k − 3×5) + 1×(2×0 − (−1)×5)
= −k − 2(2k − 15) + 5 = −5k + 35 = 0，得 k = 7。
再解線性組合：a(1, 2, 1) + b(2, −1, 3) = (5, 0, 7)。由第二個坐標 2a − b = 0 得 b = 2a；代入第一個坐標 a + 4a = 5，得 a = 1、b = 2。
驗第三個坐標：1 + 6 = 7 ✓。
「共面」有兩種等價說法：行列式為 0，或其中一個能寫成另外兩個的線性組合。前者好算、後者好用。求出 a、b 之後一定要用沒用到的那個坐標驗算，這是唯一能確認沒算錯的地方。
12已知 |a| = 2、|b| = 3、a · b = 3。求 |a + b|、cos θ 與夾角 θ（以度為單位）。
你的紀錄：這一題還沒有作答紀錄。
正確答案 |a + b| = √19，cos θ = 1/2，θ = 60°
用 |a + b|² = |a|² + 2(a · b) + |b|² = 4 + 6 + 9 = 19，所以 |a + b| = √19。
cos θ = (a · b) ∕ (|a||b|) = 3 ∕ (2 × 3) = 1∕2，故 θ = 60°。
這一題完全沒給坐標，卻能算出答案 —— 因為 |a + b|² 展開之後只用到長度與內積三個已知數。看到「求某個向量組合的長度」，一律先平方再展開，這條在空間與平面完全通用。順帶一提 |a − b|² = 4 − 6 + 9 = 7，中間的符號是唯一的差別。
三種作答方式 直接在格子裡打字；或用格子下方的「符號鍵盤」按出根號、分數線與負號，按一下就填進目前作用中的那一格；或按「拍照或上傳 PDF 作答」，把手寫算式拍成照片、或整份寫好的 PDF 帶上來。檔案只會留在你自己的裝置上，不會傳出去。上傳後這一題的正確答案與解法會直接攤開，讓你對著自己的過程批一次——錯在哪一步，比錯在哪一題更值得知道。